Bac S 2010 - Géométrie dans l'espace

Représentation paramétrique d'une droite


Bac S, septembre 2010 4 points
L'espace est rapporté à un repère orthonormal . Soit le plan d'équation : et la droite dont une représentation paramétrique est


    1. Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan ? Justifier.
    2. Démontrer que la droite est incluse dans le plan .
  1. Soit le plan passant par le point C et orthogonal à la droite .
    1. Déterminer une équation cartésienne du plan .
    2. Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan et de la droite .
    3. Montrer que CI .
  2. Soit un nombre réel et le point de la droite de coordonnées .
    1. Vérifier que pour tout nombre réel .
    2. Montrer que CI est la valeur minimale de C lorsque décrit l'ensemble des nombres réels.

Solution:


Bac S, septembre 2010 4 points
    1. C(1 ; 3 ; 2), faux. Le point C n'appartient pas au plan .
    2. Soit un point de .
      , vrai quel que soit .
      Tout point de est un point de , donc la droite est incluse dans le plan .
    1. Un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de ; d'après la représentation paramétrique les coordonnées d'un vecteur directeur de sont .
      Une équation du plan est donc :
      .
      Or C(1 ; 3 ; 2).
      Conclusion : .
    2. Soit un point de .
      .
      Donc le point commun I à et à la droite a pour coordonnées .
    3. On a . Donc CI.
      Conclusion CI .
  1. Soit un nombre réel et le point de la droite de coordonnées .
    1. On calcule les coordonnées de soit . On a .
    2. .
      Le minimum de ce trinôme somme de deux carrés est obtenue lorsque le premier carré est nul soit pour et la valeur minimale de trinôme est égale à . CI est bien la valeur minimale.


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