Bac S 2015 - Nouvelle Calédonie

Droites perpendiculaires dans l'espace


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L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp. On désigne par $\R l'ensemble des nombres réels.
On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.


Soient le point $A_1 de coordonnées $(0~;~2~;~-1) et le vecteur $\overrightarrow{u_1} de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.
On appelle $D_1 la droite passant par $A_1 et de vecteur directeur $\overrightarrow{u_1}.
On appelle $D_2 la droite qui admet pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\phantom{+ k}
\end{array}\right.\:(k \in \R).
Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à $D_1 et $D_2.


    1. Donner une représentation paramétrique de $D_1.
    2. Donner un vecteur directeur de $D_2 (on le notera : $\overrightarrow{u_2}).
    3. Le point $A_2(- 1~;~4~;~2) appartient-il à $D_2 ?
  1. Démontrer que les droites $D_1 et $D_2 sont non coplanaires.
  2. Soit le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}- 6\\- 3\\4\end{pmatrix}. On définit la droite $\Delta_1 passant par $A_1 et de vecteur directeur $\vec{v} et la droite $\Delta_2 passant par $A_2 et parallèle à $\Delta_1. Justifier que les droites $D_1 et $\Delta_1 sont perpendiculaires.

    Dans la suite, on admettra que les droites $D_2 et $\Delta_2 sont perpendiculaires.

  3. Soit $P_1 le plan défini par les droites $D_1 et $\Delta_1 et $P_2 le plan défini par les droites $D_2 et $\Delta_2.
    1. Soit le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}17\\- 22\\9\end{pmatrix}. Vérifier que $\vec{n} est un vecteur normal au plan $P_1.
    2. Montrer que $P_1 et $P_2 ne sont pas parallèles.
  4. Soit $\Delta la droite d'intersection des plans $P_1 et $P_2. On admettra que le vecteur $\vec{v} est un vecteur directeur de $\Delta. Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à $D_1 et à $D_2.

Solution:


    1. Une représentation paramétrique de $D_1 s'obtient en traduisant l'égalité $\overrightarrow{A_1M} = t\overrightarrow{u_1} avec $t \in \R soit:
      $\left\{\begin{array}{l c l}
    x - 0 &=& t \\
    y - 2 &=& 2t\\
    z - (- 1)&=&3t
    \end{array}\right.  \quad t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
    x &=& t \\
    y &=&2 +  2t\\
    z &=&- 1 + 3t
    \end{array}\right. \quad t \in \R .
    2. Dans la représentation paramétrique, on reconnait qu'un vecteur directeur de $D_2 est $\overrightarrow{u_2}\lp\begin{array}{c}1\\-2\\0\enar\rp.
    3. $A_2 \in D_2 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
      - 1  &=&1 + k \\
      4 &=&0 - 2k\\
      2 &=&2 + 0k
    \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
      - 2  &=&k \\
      - 2 &=&k\\
      2 &=&2
    \end{array}\right. qui a une solution $k = - 2.
      Le point $A_2 appartient à $D_2.
  1. Les vecteurs directeurs de $D_1 et de $D_2 ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Elles sont sécantes s'il existe des réels $t et $k tels que: $\left\{\begin{array}{lcl}
  t  &=&1 + k \\
  2 + 2t &=&0 - 2k\\
  - 1 + 3t &=&2 + 0k
  \enar\right.
  \iff\left\{\begin{array}{lcl}
  t  &=&1 + k \\
  2 + 2 + 2k &=&0 - 2k\\
  - 1 + 3 +3k &=&2 + 0k
  \enar\right.
  \iff \left\{\begin{array}{lcl}
  t  &=&1 + k \\
  4k &=&- 4\\
  3k &=&0
  \enar\right.
  \iff \left\{\begin{array}{lcl}
  t  &=&1 + k \\
  k &=&- 1\\
  k &=&0
  \enar\right. Ce système n'a pas de solution donc il n'existe pas de point commun aux deux droites, elles ne sont donc pas coplanaires.
  2. Les droites $D_1 et $\Delta_1 contiennent le point $A_1. Pour montrer qu'elles sont perpendiculaires il suffit de montrer que deux de leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux : $\overrightarrow{u_1} \cdot \vec{v} = - 6 - 6 + 12 = 0. Ainsi, les droites $D_1 et $\Delta_1 sont perpendiculaires.
  3. Les droites $D_2 et $\Delta_2 sont aussi perpendiculaires
    1. $\vec{n} est un vecteur normal au plan $P_1 s'il est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires et non nuls de ce plan $\vec{u_1} et $\vec{v} ; or $\vec{n} \cdot \vec{u_1} = - 6 - 6 + 12 = 0
      $\vec{n} \cdot \vec{v} = 17\times(-6)-22\times(-3)+4\times 9 
     = - 102 + 66 + 36 = 0
      Le vecteur $\vec{n} est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $P_1. Il est par conséquent normal à ce plan.
    2. Si $P_1 et $P_2 sont parallèles, $\vec{n} vecteur normal au plan $P_1 est aussi un vecteur normal au plan $P_2 ; il est donc orthogonal à tout vecteur non nul du plan $P_2 comme $u_2 et $\vec{v}. On a bien $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0, mais $\vec{n} \cdot \vec{u_2} = 17 + 44 + 0 = 61 \ne 0.
      Donc $\vec{n} n'est pas normal au plan $P_2 et les deux plans $P_1 et $P_2 ne sont pas parallèles.
  4. $\Delta est parallèle à $\Delta_1 et $\Delta_2 lesquelles sont respectivement perpendiculaire à $D_1 et $D_2.
    Par conséquent la droite $\Delta est orthogonale aux droites $D_1 et $D_2.
    Or cette droite appartient au plan $P_1 et au plan $P_2. Elle est donc perpendiculaire aux droites $D_1 et $D_2. Il existe donc une droite de l'espace perpendiculaire à la droite $D_1 et à $D_2 : c'est la droite $\Delta.


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