Exercice Bac S septembre 2019 - Intégration

Intégrale gaussienne - Encadrements et algorithme de Monté Carlo


On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ dans un repère orthogonal d'une fonction $g$ définie et continue sur $\R$. La courbe $\mathcal{C}_g$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et se situe dans le demi-plan $y>0$.

\[\psset{xunit=3cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,1.2)
\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.2)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2)
\uput[d](-0.08,-0.02){$0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}
\end{pspicture}\]

Pour tout $t\in\R$ on pose:
\[G(t)=\int_0^t g(u) du\]


Partie A

Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des considérations graphiques.
  1. La fonction $G$ est-elle croissante sur $[0~;~ +\infty[$ ? Justifier.
  2. Justifier graphiquement l'inégalité $G(1) \leqslant 0,9$.
  3. La fonction $G$ est-elle positive sur $\R$ ? Justifier.

Dans la suite du problème, la fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(u) = e^{-u^2}$.

Partie B
  1. Étude de $g$
    1. Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
    2. Calculer la fonction dérivée de $g$ et en déduire le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
    3. Préciser le maximum de $g$ sur $\R$. En déduire que $g(1)\leqslant1$.
  2. On note $E$ l'ensemble des points $M$ situés entre la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$. On appelle $I$ l'aire de cet ensemble.
    On rappelle que:
    \[I=G(1)=\int_0^1 g(u) du\]

    On souhaite estimer l'aire $I$ par la méthode dite "de Monte-Carlo" décrite ci-dessous.
    • On choisit un point $M(x~;~y)$ en tirant au hasard de façon indépendante ses coordonnées $x$ et $y$ selon la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~ 1]$. On admet que la probabilité que le point $M$ appartienne à l'ensemble $E$ est égale à $I$.
    • On répète $n$ fois l'expérience du choix d'un point $M$ au hasard. On compte le nombre $c$ de points appartenant à l'ensemble $E$ parmi les $n$ points obtenus.
    • La fréquence $f = \dfrac{c}{n}$ est une estimation de la valeur de $I$.

    1. La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$. Déterminer la valeur de $f$ correspondant à ce graphique.

      \[\psset{xunit=11.5cm,yunit=9cm,comma=true}
  \begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.05,1.05)
    \psframe(1,1)
    \psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1,1)
    \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x dup mul exp div}
    \psdots(0.1,0.98)(0.05,0.02)(0.12,0.9)(0.22,0.83)(0.32,0.82)(0.37,0.815)(0.09,0.76)(0.22,0.69)(0.35,0.67)(0.11,0.7)(0.18,0.53)(0.24,0.63)(0.57,0.61)(0.64,0.61)(0.65,0.6)(0.21,0.58)
    (0.48,0.55)(0.64,0.55)(0.66,0.53)(0.7,0.5)(0.57,0.44)(0.72,0.44)(0.77,0.44)(0.85,0.47)
    (0.13,0.46)(0.75,0.39)(0.54,0.41)(0.09,0.28)(0.27,0.29)(0.69,0.36)(0.7,0.37)(0.08,0.35)
    (0.28,0.28)(0.46,0.25)(0.47,0.23)(0.57,0.28)(0.7,0.28)(0.96,0.25)(0.3,0.23)(0.46,0.23)
    (0.54,0.21)(0.93,0.2)(0.96,0.23)(0.025,0.16)(0.035,0.16)(0.18,0.18)(0.28,0.16)(0.41,0.12)
    (0.63,0.16)(0.95,0.1)(0.45,0.13)(0.74,0.17)(0.94,0.12)(0.96,0.15)(0.08,0.04)(0.29,0.04)
    (0.01,0.02)(0.12,0.02)(0.51,0.01)(0.58,0)(0.92,0)(0.28,0.4)(0.3,0.42)(0.32,0.45)
    (0.35,0.5)(0.37,0.55)(0.39,0.57)(0.41,0.5)(0.48,0.41)(0.79,0.2)(0.76,0.15)(0.8,0.1)
    (0.85,0.26)(0.9,0.4)(0.44,0.65)(0.44,0.48)(0.57,0.63)
    \psdots[dotstyle=o](0.29,0.95)(0.57,0.98)(0.59,0.95)(0.79,0.92)(0.9,0.99)(0.49,0.8)(0.68,0.9)(0.79,0.91)(0.81,0.92)(0.43,0.85)(0.77,0.79)(0.94,0.77)(0.84,0.68)(0.87,0.64)(0.85,0.61)(0.83,0.59)
    (0.74,0.77)(0.97,0.69)(0.975,0.495)(0.92,0.47)(0.93,0.44)(0.6,0.8)(0.68,0.78)
  \end{pspicture}\]


    2. L'exécution de l'algorithme ci-dessous utilise la méthode de Monte-Carlo décrite précédemment pour déterminer une valeur du nombre $f$. Recopier et compléter cet algorithme.


      $f$, $x$ et $y$ sont des nombres réels, $n$, $c$ et $i$ sont des entiers naturels.
      ALEA est une fonction qui génère aléatoirement un nombre compris entre $0$ et $1$.

      \[\fbox{\begin{minipage}{8cm}
$c \gets 0$\\
Pour $i$ variant de $1$ \`a $n$ faire :\\
\hspace*{2.cm}$x \gets$ ALEA\\
\hspace*{2.cm}$y \gets$ ALEA\\
\hspace*{1cm}Si $y \leqslant  \ldots$ alors\\
\hspace*{2.cm}$c \gets \ldots$\\
\hspace*{1cm}fin Si\\
fin Pour\\
\hspace{2.5cm}$f \gets \ldots$\\ 
\end{minipage}}\]


    3. Une exécution de l'algorithme pour $n=1000$ donne $f = 0,757$. En déduire un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la valeur exacte de $I$.


Partie C
On rappelle que la fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(u) = \text{e}^{-u^2}$ et que la fonction $G$ est définie sur $\R$ par :
\[G(t) =\int_0^t g(u) du\]

On se propose de déterminer une majoration de $G(t)$ pour $t \geqslant 1$.


  1. Un résultat préliminaire.
    On admet que, pour tout réel $u \geqslant 1$, on a $g(u) \leqslant \dfrac1{u^2}$.
    En déduire que, pour tout réel $t \geqslant 1$, on a :
    \[\int_1^t g(u) du \leqslant 1 - \dfrac1t\]

  2. Montrer que, pour tout réel $t \geqslant 1$,
    \[G(t) \leqslant 2 - \dfrac1t\]

    Que peut-on dire de la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ?

Solution:



\[\psset{xunit=2cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.25)(2,1.2)
\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.2)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.2+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.2](0,0)(-2,-0.19)(2,1.2)
\uput[d](-0.08,-0.02){$0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{1 2.71828 x dup mul exp div}
%\psGauss[mue=0,sigma=0.75,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x dup mul exp div}
\psline(1,0)(0,0)}
\pspolygon[linecolor=red,linewidth=2pt](0,0)(0,1)(0.5,1)(0.5,0.8)(1,0.8)(1,0)
\end{pspicture}\]


  1. La fonction $G$ est l'intégrale d'une fonction positive et est donc croissante sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
    Algébriquement, on sait que $G$ est la primitive de $g$ qui s'annule en 1. On a donc en particulier $G'(t)=g(t)$ avec $g(t)\geqslant0$ d'après le graphique. Ainsi, $G'\geqslant0$ et $G$ est croissante sur $\R_+$.
  2. $G(1)$ est égale à l'aire, en unités d'aire, de la surface hachurée sur le graphique. Cette aire est inférieure à celle des deux rectangles tracés en rouge, dont l'aire vaut $0,5\tm1+0,5\tm0,8=0,9$, et on a donc ainsi $G(1) < 0,9$.
  3. Comme $g\geqslant0$ on a, par positivité de l'intégrale, que pour tout $a<b$,
    \[\int_a^b g(u)du\geqslant0\]

    Ainsi, pout tout $t\geqslant0$, $G(t)=\dsp\int_0^tg(u)du\geqslant0$.
    Par contre, si $t\leqslant0$, alors $G(t)=\dsp\int_0^tg(u)du\geqslant0
  =-\int_t^0g(u)du\leqslant0$.
    Ainsi, $G$ est négative sur $\R_-$ et positive sur $\R_+$.


Partie B
    1. Comme $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$, on a par composition des limites, $\dsp\lim_{u\to-\infty} e^{-u^2} = \lim_{u\to+\infty}e^{-u^2} = 0$,
      c'est-à-dire
      \[\lim_{u\to-\infty} g(u) = \lim_{u \to + \infty} g(u) = 0\]

    2. $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée de la fonction exponentielle et de la fonction carré, toutes deux dérivables sur $\R$, avec, $g'(u)=-2u e^{-u^2}$.
      Comme pour tout réel $u$, on a $e^{-u^2}>0$, on a donc
      \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
    $u$&$-\infty$&&0&&$+\infty$\\\hline
    $-2u$&&$+$&0&$-$&\\\hline
    $e^{-u^2}$&&$+$&$|$&$+$&\\\hline
    $g'(u)$&&$+$&0&$-$&\\\hline
    &&&1&&\\
    $g$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
    &0&&&&0\\\hline
    \end{tabular}\]


    3. Comme trouvé dans le tableau de variation précédent, $g$ atteint son maximum en $0$, et qui vaut $g(0)=1$. Ceci signifie aussi que pour tout réel $u$ on a $g(u)\leqslant1$, et en particulier pour $u=1$, on a $g(1)\leqslant1$.
    1. On compte 23 points au dessus de la courbe, donc 77 en dessous, et donc $f = \dfrac{77}{100} = 0,77$.

    2. \[\fbox{\begin{minipage}{8cm}
    $c \gets 0$\\
    Pour $i$ variant de $1$ \`a $n$ faire :\\
    \hspace*{2.cm}$x \gets$ ALEA\\
    \hspace*{2.cm}$y \gets$ ALEA\\
    \hspace*{1cm}Si $y \leqslant \text{e}^{-x^2}$ alors\\
    \hspace*{2.cm}$c \gets c + 1$\\
    \hspace*{1cm}fin Si\\
    fin Pour\\
    \hspace*{2.5cm}$f \gets \dfrac{c}{n}$\\ 
    \end{minipage}}\]


    3. Pour $n=1000$ et $f = 0,757$, l'intervalle de confiance de la valeur exacte de $I$, au niveau de confiance de 95 %, est
      \[\left[ f-\dfrac1{\sqrt{n}}~;~f-\dfrac1{\sqrt{n}}\right]
  =\bigl[0,725~;~0,789\bigr]\]



Partie C
  1. Comme l'intégrale conserve l'ordre, on a
    \[g(u) \leqslant \dfrac{1}{u^2} \Longrightarrow
  \int_1^t g(u) du \leqslant \int_1^t\dfrac{1}{u^2} du\]

    ce ui nous donne le résultat cherché car
    \[\int_1^t\dfrac{1}{u^2} du=\Bigl[-\dfrac1u\Bigr]_1^t=-\dfrac1t+1\]

  2. On a, en utilisant la relation de Chasles,
    \[\begin{array}{ll}G(t)&=\dsp\int_0^tg(u)du \\[1.2em]
  &=\dsp\int_0^1 g(u) du + \int_1^t g(u) du\enar\]

    Or, on a vu que $\displaystyle\int_0^1 g(u)du\leqslant1$ et par ailleurs, dans la question précédente, que $\displaystyle\int_1^t g(u)du \leqslant 1 - \dfrac{1}{t}$, d'où par somme:
    \[G(t) \leqslant 1+ 1 - \dfrac1t=2-\dfrac1t\]


    Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{t} = 0$, si la limite de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ existe, alors elle est inférieure ou égale à 2.


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