Exercice type Bac - Analyse - Logarithme

Suite récurrente et logarithme


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Le but de l'exercice est l'étude de la suite définie par son premier terme , puis pour tout entier , .
 
Partie A. Restitution organisée des connaissances.
On rappelle que .
 
Montrer que .
 
Partie B. On considère la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative.
  1. Soit la fonction définie sur par .
    Montrer que la fonction est négative sur et positive sur .
    1. Montrer que pour tout , .
    2. En déduire le sens de variation de .
    3. Montrer que la droite d'équation est une asymptote à la courbe en .
    4. Etudier la position de la courbe par rapport à la droite .


Partie C.
  1. Que peut-on dire de la suite si ?
  2. On suppose que .
    1. Montrer que pour tout entier , .
    2. On note la fonction définie sur par .
      Donner le signe de . En déduire le sens de variation de .
    3. Déduire de ce qui précède que la suite est convergente et donner sa limite.
  3. On suppose que . Dans quel intervalle se trouve alors ?
    Que peut-on alors en déduire quant au sens de variation de et à sa convergence ?

Solution:


Partie A. ROC. On pose . Ainsi,
et donc, , par quotient des limites.
 
Partie B. On considère la fonction définie sur par .
  1. Soit la fonction définie sur par .
    Pour , on a , et donc, , et comme , on a alors .
    Pour , et , d'où .
    Remarque: on peut tout aussi bien dériver et étudier son sens de variation et montrer ainsi que  est le minimum de sur .
    1. Pour tout , , avec et donc,
      Ainsi, , soit, pour ,
    2. D'après les deux questions précédentes, on a donc que estr strictement croissante sur et strictement croissante sur .
    3. , et donc, par croissance comparée (ou la partie A.), on a , et ainsi, est une asymptote à la courbe en .
    4. .
      Pour , , et donc est au-dessus de . Pour , , et donc, est au-dessous de .


Partie C.
  1. Si , alors , et donc de même , … Si , la suite est constante et égale à .
  2. On suppose que .
    1. Montrons par récurrence que pour tout entier , .
      La propriété est initialement vraie car on suppose justement que .
      Hérédité: Supposons docn que pour un entier , on ait .
      Alors, comme est strictement croissante sur avec , on a donc, , et la propriété est encore vraie au rang .
       
      Finalement, d'après le principe de récurrence, pour tout entier , .
    2. est positif lorsque , et est négatif lorsque .
      Ainsi, comme pour tout entier , , on a et ainsi la suite est décroisssante.
    3. D'après de ce qui précède que la suite est décroissante et minorée par : elle est donc convergente vers une limite .
      D'après le théorème du point fixe, on a alors, .
  3. Si , alors , soit .
    Ainsi, toute l'étude et les résultats précédents sont encore vrais à partir de : est décroissante et converge vers .


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