Exercice (extrait) Bac - Analyse: intégration

Primitive d'une fonction et calcul d'aire

Soit la fonction définie pour tout nombre réel par .
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
 
  1. Déterminer les réels et tels que la fonction définie par soit une primitive de la fonction .
     
  2. Soit la partie de plan limitée par , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équa-tion . Calculer l'aire de .

Solution:


Soit la fonction définie pour tout nombre réel par .
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
 
  1. est une primitive de si .
    Or, pour tout réel, .
    On doit donc avoir, pour tout réel , , soit, en identifiant les coefficients de ces deux polynômes:
    Ainsi, la fonction est une primitive de .
     
  2. .

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