Exercice (type) Bac - Analyse: primitive d'une fonction

Etude de propriétés de la primitive d'une fonction


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Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
 
    1. Calculer la limite de en .
       
    2. Etudier les variations de

     
  1. Soit la primitive de sur qui s'annule en .
    Déterminer le sens de variation de sur .
     
  2. On définit sur les fonctions et par , et .
     
    1. Etudier sur les variations de et .
       
    2. Montrer que, pour tout , .
       
    3. En déduire la limite de en .

Solution:


    1. est une fonction rationnelle, donc sa limite en est égale à la limite du rapport de ses termes de plus haut degré: .
       
    2. Le dénominateur a un discriminant donc ne s'annule par sur . Ainsi, la fonction rationnelle est définie et dérivable sur , avec,
       





     
  1. On a donc, par définition de , .
    Or, d'après le tableau de variation précédent, pour tout , .
    Ainsi, est croissante sur .
     

  2. On définit sur les fonctions et par , et .
    1. et sont, tout comme dérivables sur , donc sur , et
      .
      Or, sur , , et (car c'est un trinôme du second degré n'ayant pas de racine). Ainsi, pour , et donc, est décroissante sur .
       
      De même, , d'après le tableau de variation de . Ainsi, est croissante sur .
       
    2. On a de plus, , et donc, pour tout , .
       
      De même, , et donc, pour tout , .
      En résumé, on a bien, pour tout , .
       
    3. Comme , d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que .


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