Bac S, Amérique du sud 2013: Probabilités

Base de donnée de la sécurité sociale


Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4} près.

Partie A

En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10%. L'étude a également permis de prouver que 30% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.

On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements : $M : « La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
$C : « La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie ».

    1. Montrer que $P(M \cap C) = 0,03.
    2. Calculer $P(C).
  1. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?



Partie B


La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400 personnes, prises au hasard dans la population française. On note $X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

  1. Définir la loi de la variable aléatoire $X.
  2. Déterminer $P(X = 35).
  3. Déterminer la probabilité que $30 personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.


Partie C

  1. On considère la variable aléatoire $F, définie par $F = \dfrac{X}{400},\:X étant la variable aléatoire de la partie B. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F au seuil de $95 %.
  2. Dans l'échantillon considéré, $60 personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme. Qu'en pensez-vous ?

Solution:


Partie A
On peut construire l'arbre pondéré suivant:
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.6)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$M$}\rput(0.7,1.2){$0,10$}
  \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$C$}\rput(2.7,2.2){$0,30$}
  \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{C}$}\rput(2.7,0.7){$0,70$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{M}$}\rput(0.7,-1.2){$0,90$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$C$}\rput(2.7,-0.7){$0,08$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{C}$}\rput(2.7,-2.2){$0,92$}
\end{pspicture}

    1. $P\left( M \cap C\rp=P\left( M\rp\times P_M(C)=0,1\times0,3=0,03
    2. En utilisant l'arbre (ou d'après la formule des probabilités totales):
      \begin{array}{ll}
    P(C)&=P\left( M \cap C\right) + P\left(\overline M \cap C\right)\\[0.3cm]
    &= P(M)\times P_M(C) + P\lp\overline M\rp\times P_{\overline M}(C) \\[0.3cm]
    &= 0,1\times 0,3 + 0,9 \times 0,08 = 0,03 + 0,072 = 0,102\enar

  1. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. La probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme est $P_C\left( M\rp:
    $P_C\left( M\rp=\dfrac{P\left( M \cap C\rp}{P(C)}=\dfrac{0,03}{0,102}\approx0,2941



Partie B



  1. On peut considérer que, choisir au hasard un échantillon de 400 personnes, peut être assimilé à un tirage avec remise de 400 personnes dans la population totale.
    Or la probabilité qu'une personne souffre d'une malformation cardiaque de type anévrisme est $P(M)=0,1 d'après l'énoncé.
    Donc on peut dire que la variable aléatoire $X qui donne le nombre de personnes souffrant de cette malformation cardiaque suit une loi binomiale de paramètres $n=400 et $p=0,1.
  2. Comme $X suit la loi binomiale $\mathcal{B}\lp400\,; 0,1\rp, $P\left( X=35\rp=\left(\begin{array}{c} 400\\35\enar\rp\,0,1^{35}(1-0,1)^{400-35};
    le résultat donné par la calculatrice est approximativement $0,0491.
  3. La probabilité que $30 personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme est $P\left( X \geqslant 30\rp qui est égale à $1-P\left( X < 30\rp=1-P\left( X \leqslant 29\rp.
    D'après la calculatrice, $P\left( X \leqslant 29\right) \approx 0,0357, donc $P\left( X \geqslant 30\right) \approx 0,9643.


Partie C

  1. On sait que si $X suit la loi binomiale $\mathcal B(n\,, p), alors l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F=\dfrac{X}{400} au seuil de $95 % est donné par:

    \begin{array}{ll}
I&=\left[ p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,;\,p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\rb\\[0.6cm]
&=\left[ 0,1-1,96\dfrac{\sqrt{0,1(1-0,1)}}{\sqrt{400}}\,;\,0,1+1,96\dfrac{\sqrt{0,1(1-0,1)}}{\sqrt{400}}\rb\\[0.6cm]
&=\Bigl[ 0,0706\,;\, 0,1294\Bigr]
\enar


  2. Dans l'échantillon considéré, $60 personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme; $\dfrac{60}{400}= 0,15 \not \in I. Le taux de malades dans cet échantillon est anormalement élevé.


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