Exercice Bac S, M├ętropole, juin 2015

Lois exponentielle et normale - Fluctuation



Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} près.


Partie 1


  1. Soit $X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda, où $\lambda est un réel strictement positif donné.
    On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f définie sur $[0~;~+ \infty[ par $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}.
    1. Soit $c et $d deux réels tels que $0 \leqslant c < d. Démontrer que la probabilité $P( c \leqslant X \leqslant d) vérifie

      P(c \leqslant X \leqslant d) = e^{- \lambda c}-e^{-\lambda d}

    2. Déterminer une valeur de $\lambda à $10^{-3} près de telle sorte que la probabilité $P(X > 20) soit égale à 0,05.
    3. Donner l'espérance de la variable aléatoire $X.


      Dans la suite de l'exercice on prend $\lambda = 0,15.
    4. Calculer $P(10 \leqslant X \leqslant 20).
    5. Calculer la probabilité de l'évènement $(X > 18).
  2. Soit $Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $16 et d'écart type $1,95.
    1. Calculer la probabilité de l'événement $(20 \leqslant Y \leqslant 21).
    2. Calculer la probabilité de l'événement $(Y < 11) \cup (Y > 21).



Partie 2
Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant. Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

Les bons d'achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à $0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à $0,015 et $0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.


  1. Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu'il est rouge.
  2. Montrer qu'une valeur approchée à 10^{-3} près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut $0,057.


    Pour la question suivante, on utilise cette valeur.
  3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30\euro.


    Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.
    Ses doutes sont-ils justifiés ?

Solution:


Partie 1
    1. Par définition, $\displaystyle P(c\leqslant X\leqslant d)=\int_c^df(x)dx=\int_c^d\lambda e^{-\lambda x}.
      Or, $F:x\mapsto -e^{-\lambda x} est une primitive de $f et donc,
      P(c\leqslant X\leqslant d)=\int_c^df(x)dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_c^d
    =F(d)-F(c)=-e^{-\lambda d}-\lp-e^{-\lambda c}\rp=e^{-\lambda c}-e^{-\lambda d}


    2. On a $P(X>20)=P(0\leqslant X\leqslant 20)=e^{-\lambda\tm0}-e^{-\lambda\tm20}=1-e^{-20\lambda}.
      Ainsi, $P(X>20)=0,95\iff 1-e^{-20\lambda}=0,95\iff \lambda=-\dfrac{\ln(0,05)}{20}\simeq 0,150.
    3. L'espérance d'une loi exponentielle est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\simeq 6,676.

      Dans la suite de l'exercice on prend $\lambda = 0,15.
    4. $P(10 \leqslant X \leqslant 20)=e^{-10\lambda}-e^{-20\lambda}\simeq 0,173.
    5. $P(X>18)=1-P(0\leqslant X\leqslant 18)=1-\left( e^{-0\lambda}-e^{-18\lambda}\rp=e^{-18\lambda}\simeq 0,067.
    1. La calculatrice donne $P(20 \leqslant Y \leqslant 21)\simeq0,015.
    2. $P((Y < 11) \cup (Y > 21))=1-P(11\leqslant Y\leqslant 21)\simeq0,010.



Partie 2 On peut alors représenter la situation par un arbre, en notant les événements:
  • R: "le bon d'achat est rouge"
  • V: "le bon d'achat est vert"
  • T: "le bon d'achat est de trente euros"
  • C: "le bon d'achat est de cent euros"
  • A: "le bon d'achat est d'une autre valeur"

\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}\begin{pspicture}(-.2,-2.8)(4,2.2)
\psline(1.5,-1.5)(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){V}
\rput(0.4,0.9){$0,75$}\rput(0.4,-0.9){$0,25$}
\psline(3.5,1)(2,1.5)(3.5,2)\rput(1.75,-1.5){R}
\rput(3.75,2){T}\rput(3.75,1.){A}
\rput(2.8,2.){$0,067$}\rput(2.8,.9){$0,933$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-.5)\rput(3.75,-.5){T}
\psline(2,-1.5)(3.5,-1.5)\rput(3.75,-1.5){C}
\psline(2,-1.5)(3.5,-2.5)\rput(3.75,-2.5){A}
\rput(2.8,-0.7){$0,015$}\rput(2.95,-1.35){$0,010$}\rput(2.8,-2.5){$0,975$}
\end{pspicture}

  1. En notant S l'événement: "la valeur du bon d'achat est supérieure ou égale à 30 euros", la probabilité recherchée est la probabilité conditionnelle:
    P_R(S)=P_R(T)+P_R(C)=0,025

  2. $P(S) = P(T\cup C)=P(V)\times P_V(S)+P(R)\times P_R(S)
  =0,75\tm0,067+0,025\tm0,025=0,0565\simeq 0,057
  3. En utilisant la valeur précédente, la probabilité d'avoir un bon d'un montant supérieur ou égal à 30 euros est $p=0,057.
    Comme $n=200\geqslant 30 ; $np=11,4\geqslant 5 et $n(1-p)=188,6\geqslant 5, on peut utiliser la formule asymptotique de l'intervalle de fluctuation à 95%: la proportion $p' dans un échantillon aléatoire de 200 bons d'achat est, avec une probabilité d'environ 95%, dans l'intervalle de fluctuation
    I=\left[p-1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]\simeq \Bigl[0,024;0,090\Bigr]

    Ici, la proportion observée est $p'=\dfrac{6}{200}=0,03. On a $p'\in I, et donc les doutes du directeur du magasin ne sont pas justifiés: avec un faible risque d'erreur (d'environ 5%), la fluctuation de $p' par rapport à celle de $p annoncée s'explique simplement par le fait que l'échantillon des 200 billets de son magasin est constitué au hasard.


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