Exercice Bac S, Métropole, juin 2015

Lois exponentielle et normale - Fluctuation

Exercice bac corrigé - Probabilités: Bac S métropole, juin 2015, Lois exponentielle et normale - Fluctuation



Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} près.


Partie 1


  1. Soit $X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda, où $\lambda est un réel strictement positif donné.
    On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f définie sur $[0~;~+ \infty[ par $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}.
    1. Soit $c et $d deux réels tels que $0 \leqslant c < d. Démontrer que la probabilité $P( c \leqslant X \leqslant d) vérifie

      P(c \leqslant X \leqslant d) = e^{- \lambda c}-e^{-\lambda d}

    2. Déterminer une valeur de $\lambda à $10^{-3} près de telle sorte que la probabilité $P(X > 20) soit égale à 0,05.
    3. Donner l'espérance de la variable aléatoire $X.


      Dans la suite de l'exercice on prend $\lambda = 0,15.
    4. Calculer $P(10 \leqslant X \leqslant 20).
    5. Calculer la probabilité de l'évènement $(X > 18).
  2. Soit $Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $16 et d'écart type $1,95.
    1. Calculer la probabilité de l'événement $(20 \leqslant Y \leqslant 21).
    2. Calculer la probabilité de l'événement $(Y < 11) \cup (Y > 21).



Partie 2
Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant. Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

Les bons d'achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à $0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à $0,015 et $0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.


  1. Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu'il est rouge.
  2. Montrer qu'une valeur approchée à 10^{-3} près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut $0,057.


    Pour la question suivante, on utilise cette valeur.
  3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30\euro.


    Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.
    Ses doutes sont-ils justifiés ?

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