Exercice Bac S, Nouvelle Calédonie 2015

Probabilités conditionnelles, lois exponentielle et binomiale


Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles.
À la sortie de fabrication, 5 % d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients.
On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1000 heures. On observe que 2 % des puces livrées ont une durée de vie courte.
On note $L l'évènement « La puce est livrée ».
On note C l'évènement « La puce a une durée de vie courte c'est-à-dire inférieure ou égale à 1000 heures ».
Étant donné deux évènements $A et $B, on note $P_A(B) la probabilité conditionnelle de l'évènement $B sachant que l'évènement $A est réalisé.
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.


  1. On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise.
    1. Donner la valeur $P_L(C).
    2. Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à 1000 heures?
    3. Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ?


    Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.


  2. On appelle $X la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d'une telle puce.
    On suppose que $X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda.
    1. Montrer que $\lambda = \dfrac{ - \ln (0,98)}{1000}.
    2. Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à 10000 heures. On arrondira le résultat à $10^{-3} près.
    3. Calculer $P(20000 \leqslant X \leqslant 30000). On arrondira le résultat à $10^{-3} près. Interpréter ce résultat.
  3. Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à $0,003. On prélève au hasard 15000 puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de 15000 puces revient à effectuer un tirage avec remise de 15000 puces parmi l'ensemble de toutes les puces électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées. On appelle $Y la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon.
    1. Justifier que $Y suit une loi binomiale de paramètres $n = 15000 et $p = 0,003.
    2. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y.
    3. Calculer, à $10^{-3} près, la probabilité $P(40 \leqslant Y \leqslant 50).

Solution:


  1. On peut représenter la situation par un arbre:
    \begin{pspicture}(0,-1.1)(3,1.8)
  \psline(1.2,-0.8)(0,0)(1.2,0.8)
  \rput(1.4,0.8){$L$}
  \rput(1.4,-0.8){$\overline{L}$}
  \rput(0.6,0.7){$95\%$}
  \rput(0.6,-0.7){$5\%$}
  \psline(2.7,0)(1.6,0.8)(2.7,1.6)
  \rput(2.9,1.6){$C$}
  \rput(2.9,0){$\overline{C}$}
  \rput(2.,1.4){$2\%$}
  \rput(2.,0.1){$98\%$}
  \end{pspicture}

    1. $2\% des puces livrées ont une durée de vie courte, c'est-à-dire $P_L(C) = 0,02.
    2. On déduit que $P_L\lp\overline{C}\right) = 1 - 0,02 = 0,98 et
      $P\left( L \cap \overline{C}\right) 
    = P(L) \times P_L\lp\overline{C}\right) 
    = 0,95 \times 0,98 = 0,931.
    3. Comme seules les puces livrées peuvent avoir une durée de vie courte on a:
      $P\lb\overline{L}\cup \left( L \cap C\right)  \right] 
    =  P\lp\overline{L}\right) + P\lp L \cap C\right) 
    = 0,05 +  0,95\times 0,02 = 0,069.
    1. On sait que $P(X \leqslant {1000}) = 0,02.
      $X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda, donc :
      $\displaystyle 
    P(X \leqslant  {1000}) 
    =\int_0^{1000} \lambda e^{-\lambda t}dt
    =\Bigl[ -e^{-\lambda t}\Bigr]_0^{1000}
    = 1 - e^{-{1000}\lambda} Ainsi, $P(X \leqslant  {1000}) = 0,02 
    \iff
    e^{-{1000}\lambda} = 0,98 
    \Rightarrow -{1000}\lambda = \ln 0,98 
    \iff \lambda = \dfrac{- \ln 0,98}{{1000}}.
    2. $P(X \geqslant {10000}) = e^{-{10000}\lambda} 
    =  e^{-10\ln 0,98} \approx 0,817. Donc environ $81,7\,\% des puces ont une durée de vie supérieure ou égale à 10 000 heures.
    3. $P(20000 \leqslant X \leqslant  30000) 
  = e^{-20000\lambda} - e^{-30000\lambda} \approx 0,122. Soit environ $12,2\% des puces ont une durée de vie comprise entre $20~000 et $30~000 heures.
    1. On effectue 15000 tirages indépendants les uns des autres. La probabilité qu'une puce livrée ait une vie courte est $p = 0,003. $Y suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 15000 et $p = 0,003.
    2. $E(Y) = n \times p = {15000} \times 0,003 = 45.
      Il y a environ 45 puces à durée de vie courte sur les 15000 extraites de la production.
    3. On a $P(40 \leqslant Y \leqslant 50) 
    = P(Y \leqslant 50) - P(Y < 40) = P(Y \leqslant 50) - P(Y \leqslant 39). La calculatrice donne $P(Y \leqslant 50) \approx {0,7966} et $P(Y\leqslant 39) \approx {0,2080}, donc :
      $P(40 \leqslant Y \leqslant 50) \approx {0,7966} - {0,2080} \approx  0,589.


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