Exercice Bac S, juin 2013

Probabilités discrètes générales et loi binomiale


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Bac S, 20 juin 2013, 4 points
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l'horticulteur , 25 % de l'horticulteur et le reste de l'horticulteur H. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l'horticulteur comporte 80 % de conifères alors que celle de l'horticulteur n'en comporte que 50 % et celle de l'horticulteur seulement 30 %.
 
  1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
    On envisage les événements suivants :
    • : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H »,
    • : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H »,
    • : « l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H »,
    • : « l'arbre choisi est un conifère »,
    • : « l'arbre choisi est un arbre feuillu ».

     
    1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
    2. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur .
    3. Justifier que la probabilité de l'évènement est égale à .
    4. L'arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur ? On arrondira à .
  2. On choisit au hasard un échantillon de  arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de  arbres dans le stock. On appelle la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
    1. Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    2. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement  conifères?
      On arrondira à .
    3. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à .

Solution:


Puisque le choix de l'arbre se fait au hasard dans le stock de la jardinerie, on assimile les proportions données à des probabilités.
    1. L'arbre pondéré traduisant cette situation est :


    2. On cherche la probabilité de l'intersection: .
    3. Puisque la jardinerie ne se fournit qu'auprès de trois horticulteurs, les événements , et forment une partition de l'univers. On peut donc appliquer la loi des probabilités totales, et on en déduit :
      .
    4. On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle :
      .

    1. On répète fois le schéma de Bernoulli pour lequel le succès est "choisir un conifère", dont la probabilité est . Ces répétitions sont identiques et indépendantes (puisque l'on suppose que les choix successifs peuvent être assimilés à un tirage au sort avec remise).
      Ainsi la variable aléatoire , égale au nombre de succès sur les 10 répétitions, suit bien la loi binomiale , soit ici .
    2. On cherche ici la probabilité de l'événement :
      .
    3. Cette fois, la probabilité recherchée est celle de , qui est l'événement contraire de la réunion des événements disjoints et .
      On a alors: .


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