Bac S, juin 2014

Test de d├ępistage: probabilit├ęs conditionnelles, loi normale


Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.


Partie A


Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes:



  1. Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à 0,1 %. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
    On note $M l'événement "la personne choisie est malade" et $T l'événement "le test est positif".
    1. Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré.
    2. Démontrer que la probabilité $p(T) de l'évènement $T est égale à $1,989 \times 10^{-3}.
    3. L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
      Affirmation: "Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade".
  2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à $0,95. On désigne par $x la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population.
    A partir de quelle valeur de $x le laboratoire commercialise-t'il le test correspondant ?




Partie B

La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d'un médicament.


  1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d'un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire $X qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~\sigma^2\right), de moyenne $\mu = 900 et d'écart-type $\sigma = 7.
    1. Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à $10^{-2}.
    2. Déterminer l'entier positif $h tel que $P\left( 900 - h \leqslant  X \leqslant  900 + h\right) 
    \approx  0,99 à $10^{-3} près.
  2. La chaine de production a été réglée dans le but d'obtenir au moins 97 % de comprimés conformes. Afin d'évaluer l'efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 1000 comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1000 tirages successifs avec remise.
    Le contrôle effectué a permis de dénombrer $53 comprimés non conformes sur l'échantillon prélevé.
    Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

Solution:


Partie A
    1. Le pourcentage de personnes malades est de 0,1%, ainsi $P(M)=0,1\%=0,001.
      \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
    \begin{pspicture}(0,-3)(3,3)
    \psline(1.5,-1.5)(0,0)(1.5,1.5)
    \rput(1.75,1.5){$M$}\rput(0.8,0.8){$0,001$}
    \rput(1.75,-1.5){$\overline{M}$}\rput(0.8,-0.8){$0,999$}
    \psline(3.5,0.5)(2,1.5)(3.5,3.)
    \rput(3.75,3){$T$}\rput(2.7,2.7){$0,99$}
    \rput(3.75,0.5){$\overline{T}$}\rput(2.7,.6){$0,01$}
    \psline(3.5,-0.5)(2,-1.5)(3.5,-3.)
    \rput(3.75,-3){$\overline{T}$}\rput(2.7,-2.7){$0,999$}
    \rput(3.75,-0.5){$T$}\rput(2.7,-.6){$0,001$}
    \end{pspicture}

    2. D'après la loi des probabilités totales (ou l'utilisation de l'arbre des probabilités), les événements $M et $\overline{M} constituant une partition de l'univers: $P(T) = P(M \cap T) + P\lp\overline{M} \cap T \right) 
    = 0,001 \times 0,99 + 0,999 \times 0,001 
    %= 0,001 \times (0,99+ 0,999) 
    = 1,989 \times 10^{-3}.
    3. L'affirmation fait référence à la probabilité d'être malade sachant que le test est positif: $P_T(M) = \dfrac{P\left( T \cap M\rp}{P(T)} 
    = \dfrac{0,001 \times 0,99}{1,989 \times 10^{-3}} 
    = \dfrac{0,99}{0,99 + 0,999} \simeq 0,498<\dfrac12.

      L'affirmation est donc correcte: si une personne obtient un test positif, alors la probabilité qu'elle soit effectivement malade est (légèrement) inférieure à 0,5, soit un peu moins d'une chance sur deux.
  1. On reprend la même démarche, avec maintenant $P(M)=x:
    \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
  \begin{pspicture}(0,-3)(3,3)
    \psline(1.5,-1.5)(0,0)(1.5,1.5)
    \rput(1.75,1.5){$M$}\rput(0.7,1.1){$x$}
    \rput(1.75,-1.5){$\overline{M}$}\rput(0.7,-1.2){$1-x$}
    \psline(3.5,0.5)(2,1.5)(3.5,3.)
    \rput(3.75,3){$T$}\rput(2.7,2.7){$0,99$}
    \rput(3.75,0.5){$\overline{T}$}\rput(2.7,.6){$0,01$}
    \psline(3.5,-0.5)(2,-1.5)(3.5,-3.)
    \rput(3.75,-3){$\overline{T}$}\rput(2.7,-2.7){$0,999$}
    \rput(3.75,-0.5){$T$}\rput(2.7,-.6){$0,001$}
  \end{pspicture}

    On a alors: $P(T) = 0,99x + 0,001 \times (1 - x) = 0,001 + 0989x et donc, $P_T(M) = \dfrac{0,99x}{0,001 + 0,989x}.
    On cherche alors à résoudre, pour $x\in[0;1], $P_T(M) \geqslant 0,95, soit
    \begin{array}{ll}
  \dfrac{0,99x}{0,001 + 0,989x} \geqslant 0,95 
  &\iff 0,99x \geqslant 0,95 \times (0,001 + 0,989x) 
  \text{ car } 0,001 + 0,989x \geqslant 0,001>0 \\[0.3cm]
  &\iff 0,99x \geqslant   0,00095 + 0,93955x 
  \iff x \geqslant \dfrac{0,00095}{0,05045} \simeq 0,01883
  \enar

    Le test est donc commercialisable dès lors que la proportion $x de personnes atteintes par la maladie dans la population est supérieure à environ $0,01883\simeq1,8\%.



Partie B
    1. On utilise la calculatrice, qui donne : $P(890 \leqslant X \leqslant 920) \simeq 0,92 à $10^{-2} près.
    2. On pose $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-900}{7} qui est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0~;~1).
      On a alors $P\left( 900-h\leqslant X\leqslant 900+h\right)
    =P\left( -\dfrac{h}{7}\leqslant Z\leqslant \dfrac{h}{7}\right)
    =0,99.
      Or on sait que $P\left( -u_{0,01}\leqslant Z\leqslant u_{0,01}\rp\simeq 0,99 pour $u_{0,01}\simeq 2,58.
      Ainsi, on doit avoir $\dfrac{h}{7}\simeq 2,58 \iff h\simeq 7\times 2,58\simeq18,06.
      Puisque le nombre $h demandé est entier, on arrondit à $h = 18.
      On peut vérifier à la calculatrice que $P(882 \leqslant X \leqslant 918) \simeq 0,9899 \simeq 0,990 à $10^{-3} près.
  1. Puisque la sélection de l'échantillon est assimilée à un tirage au sort avec remise, on a donc $n=1000 répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli dont le succès est "le comprimé tiré est conforme" de probabilité $p=0,97.
    La variable aléatoire $X qui est égale au nombre de comprimés non conformes sur ces 1000 rpétitions suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(1000~;~0,97).
    Le paramètre $n = 1000 étant suffisamment élevé ($n\geqslant 30), on en déduit que l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\% pour la proportion $\dfrac{X}{n} est
    \left[ 0,97 - 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,97 \times 0,03}}{\sqrt{1000}}~;
  ~0,97 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,97 \times 0,03}}{\sqrt{1000}}\right]
  \simeq \Bigl[ 0,9594~;~0,9806\Bigr]

    Cela signifie que la proportion de comprimés conformes dans un lot de $1000 comprimés est comprise dans l'intervalle ci-dessus, avec une probabilité de 0,95. Comme la proportion de comprimés conformes constatée dans cet échantillon est de $\dfrac{1000 - 53}{1000} =
  0,947, donc est en dehors de l'intervalle de fluctuation asymptotique déterminé précédemment, on en déduit que les réglages faits par le laboratoire ont une forte probabilité d'être à revoir. La probabilité qu'ils soient corrects bien que l'échantillon donne une proportion de comprimés conformes en dehors de l'intervalle de fluctuation n'est que de $0,05.


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