Bac S, 11 septembre 2014

Lois exponentielle, binomiale et normale


Dans cet exercice, on s'intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants: sans réservation ou avec réservation préalable.

  1. Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d'attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients. On modélise ce temps d'attente en minutes par une variable aléatoire $X qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$\lambda est un réel strictement positif. On rappelle que l'espérance mathématique de $X est égale à $\dfrac{1}{\lambda}. Une étude statistique a permis d'observer que le temps moyen d'attente pour obtenir une table est de 10 minutes.
    1. Déterminer la valeur de $\lambda.
    2. Quelle est la probabilité qu'un client attende entre 10 et 20 minutes pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}.
    3. Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 5 minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira à $10^{-4}.
  2. Le deuxième restaurant a une capacité d'accueil de 70 places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable. La probabilité qu'une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à $0,8.
    On note $n le nombre de réservations prises par le restaurant et $Y la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant. On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $Y suit alors une loi binomiale.

    1. Préciser, en fonction de $n, les paramètres de la loi de la variable aléatoire $Y, son espérance mathématique $E(Y) et son écart-type $\sigma(Y).
    2. Dans cette question, on désigne par $Z une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right) de moyenne $\mu = 64,8 et d'écart-type $\sigma = 3,6. Calculer la probabilité $p_{1} de l'évènement $\{Z \leqslant
    71\} à l'aide de la calculatrice.
    3. On admet que lorsque $n = 81, $p_{1} est une valeur approchée à $10^{-2} près de la probabilité $p(Y \leqslant 70) de l'évènement $\{Y \leqslant 70\}. Le restaurant a reçu 81 réservations. Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas accueillir certains des clients qui ont réservé et se présentent ?

Solution:


Bac S - métropole, 11 septembre 2014 - 5 points
    1. Le temps moyen d'attente est de 10 minutes donc $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=10, d'où $\lambda=\dfrac{1}{10}=0,1.
    2. La probabilité qu'un client attende entre 10 et 20 minutes est $P(10 \leqslant X \leqslant 20) = \dsp\int_{10}^{20} 0,1 e^{-0,1t}dt 
    = \left[ -e^{-0,1t} \rb_{10}^{20} = -e^{-2} + e^{-1}\approx 0,2325
    3. Un client attend depuis 10 minutes; la probabilité qu'il attende encore au moins 5 minutes est $P_{\left( X \geqslant 10\rp}(X \geqslant 15)
    =\dfrac{P\left( \left( X\geqslant 10\rp\cap\left( X\geqslant 15\rp\rp}{P\left( X\geqslant 10\rp}
    =\dfrac{P\left( X\geqslant 15\rp}{P\left( X\geqslant 10\rp}
    =\dfrac{1-P\left( X\leqslant 15\rp}{1-P\left( X\leqslant 10\rp}
    =\dfrac{e^{-1,5}}{e^{-1}}=e^{-0,5}\simeq 0,6065
    .
    1. La variable aléatoire $Y suit la loi binomiale de paramètres $n et $p=0,8.
      Donc $E(Y) = n\times 0,8=0,8n et $\dsp\sigma(Y)=\sqrt{n\times 0,8 \times 0,2} = \sqrt{0,16n}
    2. Avec la calculatrice, on trouve $p_1 = P(Z \leqslant 71) \approx 0,96.
    3. La probabilité que trop de clients se présentent est $P(Y >70)=1-P(Y \leqslant 70) = 1-p_1 \approx 0,04.


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