Exercice Bac - Nouvelle Calédonie 2008

Arbre de probabilités, loi binomiale et espérance d'une variable aléatoire


Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois :

 
Une animalerie achète les alevins, à l'âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au second.


  1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de deux mois.
    1. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de $0,92.
    2. Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge.
    3. Sachant que le poisson est gris à l'âge de trois mois, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier élevage ?

     
  2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante $5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu'un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à $10^{-2} près.
     
  3. L'animalerie décide de garder les alevins jusqu'à l'âge de trois mois, afin qu'ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne $1 euro si le poisson est rouge, $0,25 euro s'il est gris et perd $0,10 euro s'il ne survit pas.
     
    Soit $X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X et son espérance mathématique, arrondie au centime.

Solution:


Nouvelle Calédonie, mars 2008
On note les événement $E: "le poisson provient du premier élevage", $M: "le poisson n'a pas survécu", $R: "le poisson est devenu rouge" et $G: "le poisson est devenu gris.
On peut alors construire l'arbre pondéré suivant:
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.6)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$E$}\rput(0.7,1.2){$0,60$}
  \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$M$}\rput(2.9,2.2){$0,10$}
  \psline(2,1.5)(3.5,1.5)\rput(3.75,1.5){$R$}\rput(2.9,1.6){$0,75$}
  \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$G$}\rput(2.9,0.7){$0,15$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{E}$}\rput(0.7,-1.2){$0,40$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$M$}\rput(2.9,-0.7){$0,05$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-1.5)\rput(3.75,-1.5){$R$}\rput(2.9,-1.4){$0,65$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$G$}\rput(2.9,-2.2){$0,30$}
\end{pspicture}


    1. La probabilité que l'alevin acheté par l'enfant soit vivant au bout de trois mois est d'après l'arbre (ou la formule des probabilités totales):
      0,60\tm\lp0,75+0,15\rp+0,40\tm\lp0,65+0,30\rp=0,92


    2. De même la probabilité pour l'enfant d'avoir un poisson rouge est:
      0,60\tm0,75+0,40\tm0,65=0,71

    3. La probabilité que le poisson provienne du premier élevage sachant qu'il est gris est:
      
    P_G\left( E\rp=\dfrac{P\left( E\cap G\rp}{P(G)}
    =\dfrac{0,60\tm0,15}{0,60\tm0,15+0,40\tm0,30}
    =\dfrac{0,09}{0,21}\simeq 0,43

  1. On répète $n=5 fois l'expérience "choisir au hasard un alevin", dont le succès est "l'alevin est toujours en vie au bout d'un mois" et de probabilité $p=0,92. Ces expériences sont supposées identiques et indépendantes entre elles.
    Ainsi, la variable aléatoire $Y égale au nombre de succès, c'est-à-dire d'alevins en vie au bout d'un mois sur ces 5 pris au hasard, suit la loi binomiale de paramètres $n=5 et $p=0,92.
     
    La probabilité qu'au bout d'un mois trois soient en vie est alors:
    P\left( Y=3\rp=\binom{5}{3}0,92^3 \times (1 - 0,92)^2 = 10 \times 0,92^3 \times 0,08^2 \simeq 0,05

  2. On a le tableau de loi de probabilité suivant :

    
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
couleur & rouge & gris & mort\\ \hline
probabilit\'e & 0,71&0,21&0,08\\ \hline
gain(euros) &$+1$&$+0,25$&$-0,10$\\ \hline
\end{tabular}



    On a donc E$(X) = 0,71 \times 1 + 0,21 \times 0,25 - 0,08 \times 0,10 = 0,7545\approx 0,75 euro.


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