Exercice (type) Bac - Probabilités

Production de plaques métalliques


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Une entreprise produit en grande série des plaques métalliques rectangulaires pour l'industrie automobile. Dans ce qui suit, les résultats approchés seront arrondis au centième.

Partie A. On note l'événement "une plaque prélevée au hasard dans la production d'une journée est défectueuse". On suppose que .
On prélève au hasard 50 plaques dans la production de la journée pour vérification. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélévement à un tirage aléatoire avec remise de 50 plaques.
On considère la variable aléatoire qui, à tout prélévement ainsi défini, associe le nombre de plaques de ce prélévement qui sont défectueuses.
  1. Justifier que la variable suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
  2. Calculer les probabilités et .
  3. Calculer la probabilité que, dans un prélévement, au plus deux plaques soient défectueuses.


Partie B. Une plaque de ce type a une longueur conforme lorsque sa longueur , exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle .
Une plaque de ce type a une largeur conforme lorsque sa largeur , exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle .
  1. On note la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans un stock important, associe sa longueur . On suppose que la variable aléatoire suit la loi normale de moyenne 550 et d'écart-type 1.
    Calculer .
  2. On note la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans un stock important, associe sa largeur .
    On admet que .
    On suppose que les événements "la plaque a une largeur conforme" et "la plaque a une longueur conforme" sont indépendants.
    On prélève une plaque au hasard dans le stock.
    Déterminer la probabilité que sa largeur et sa longueur soient conformes.


Partie C. Dans cette partie, on considère une grande quantité de plaques destinée à une chaîne de montage de véhicules électriques. On considère un échantillon de 100 plaques prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage aléatoire avec remise.
On constate que 94 plaques sont sans défaut.
  1. Quelle est la proportion de plaques sans défaut dans cet échantillon ?
  2. A partir de cet échantillon, déterminer un intervalle de confiance de la proportion des plaques sans défaut dans la livraison, au niveau de confiance de 0,95.
  3. Quelle devrait être la taille de l'échantillon pour que l'intervalle de confiance ait une amplitude inférieure ou égale à 10 % ?

Solution:



Partie A.
  1. On répète fois l'expérience: prélever au hasard une plaque, dont le succès est l'évenement de probabilité . Ces répétitions sont identiques et indépendantes (car on assimile chaque tirage comme étant avec remise).
    La variable aléatoire compte le nombre de succès sur les 50 répétitions, c'est-à-dire le nombre de plaques défectueuses.
     
    Ainsi, suit la loi binomiale .
  2. ; .
  3. La probabilité que, dans un prélévement, au plus deux plaques soient défectueuses est:

    Il ne reste plus qu'à calculer , et alors, .


Partie B.
  1. La variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite , pour laquelle on peut alors utiliser les valeurs de la fonction de répartition tabulées:


    Remarque: On cherche en fait la probabilité d'être à moins de 2 écart-types de la moyenne; on sait alors que pour une loi normale, cette probabilité est d'environ 95 %=0,95, valeur qu'on retrouve ici.
  2. La probabilité que sa largeur et sa longueur soient conformes est:

    car ces deux événements sont supposés indépendants, et donc, .


Partie C.
  1. La proportion de plaques sans défaut dans cet échantillon est .
  2. A partir de cet échantillon, un intervalle de confiance de la proportion des plaques sans défaut dans la livraison, au niveau de confiance de 0,95, est:

    L'intervalle de confiance est donc, au niveau de confiance de 0,95, .
  3. L'amplitude de l'intervalle de confiance est , on doit donc avoir une taille de l'échantillon telle que



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