Exercice (type) Bac - Intervalle de fluctuation

Cris d'asthme chez les enfants


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On admet que, en France, dans la population d'enfants de 11 à 14 ans, le pourcentage d'enfants ayant déjà eu une crise d'asthme dans leur vie est de 13 %.
Un médecin d'une ville est surpris du nombre important d'enfants le consultant ayant des crises d'asthme et en informe les services sanitaires. Ceux-ci décident d'entreprendre une étude et d'évaluer la proportion d'enfants de 11 à 14 ans ayant déjà eu des crises d'asthme. Ils selectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville.
  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de jeunes de 11 à 14 ans ayant déjà eu une crise d'asthme dans un échantillon de 100 enfants.
  2. L'étude réalisée auprès de ces 100 jeunes a dénombré 19 jeunes ayant déjà eu des crises d'asthme.
    Que peut-on en conclure ?
  3. Le médecin n'est pas convaincu par cette conclusion et déclare que le nombre de jeunes interrogés était insuffisant pour mettre en évidence qu'il y avait plus de jeunes ayant des crises d'asthme que dans le reste de la France.
    Combien faudrait-il prendre de sujets pour qu'une proportion observée de 19 % soit en dehors de l'intervalle de fluctuation asymptotique ?

Solution:


  1. L'intervalle de fluctation au seuil de 95 % d'une proportion sur un échantillon de jeunes est:

  2. Lors de cette étude, de jeunes ont déjà eu une crise d'asthme. Comme , on ne peut pas conclure au fait que le nombre de jeunes ayant déjà eu une crise d'asthme dans cette ville soit particulièrement important; ce nombre qui paraît important pour le médecin peut s'expliquer par la fluctuation aléatoire d'un échantillon à l'autre de 100 jeunes.
  3. Il faut que .
    La taille de l'échantillon de jeunes interrogés doit donc être de 121 jeunes au minimum si on souhaite mettre en évidence une proportion anormalement élevée dans cette ville.


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