Exercice (type) Bac - Statistiques et probabilités

Production de boules sphériques


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Une entreprise produit des boules sphériques en grande quantité. Le responsable qualité cherche à analyser la production. Il mesure pour cela le diamètre (en millimètres) des boules d'un échantillon de 50 pièces, et obtient les résultats suivants:



Une boule est dite conforme si son diamètre appartient à l'intervalle .
    1. Quel est, dans l'échantillon, le pourcentage de boules non-conformes ?
    2. Déterminer, pour cet échantillon, la moyenne et l'écart-type du diamètre des boules, arrondis au dixième.

  1. L'étude statistique permet de modéliser la loi de la variable aléatoire mesurant le diamètre d'une boule par la loi normale de paramètres et , la moyenne et l'écart-type trouvés ci-dessus.
    1. Calculer la probabilité pour qu'une boule prise au hasard soit conforme.
    2. Quelle valeur devrait prendre l'écart-type pour que, sans changer la moyenne, la probabilité qu'une boule soit non-conforme soit égale à 0,1 ?

Solution:


    1. Il y a boules non-conformes sur 50, soit un pourcentage de .
    2. La moyenne est:   ; .
      La variance est alors: soit l'écart-type: .

    1. Soit la variable aléatoire égale au diamètre d'une boule prise au hasard. Alors suit la loi , et suit la loi normale centrée réduite .
      La probabilité pour qu'une boule prise au hasard soit conforme est alors, en notant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite:


    2. On cherche l'écart-type tel que .
      Soit , alors suit la loi et,


      On trouve, à la calculatrice (ou avec la table de ): .


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