Exercice type Bac

Suite récurrente définie par une fonction, démonstration par récurrence, et limite

Exercice corrigé Bac: exponentielle, suite d'intégrales


Bac S, 19 juin 2014, 5 points
Partie A
 

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par la courbe représentative de la fonction définie sur par:


  1. Justifier que passe par le point A de coordonnées .
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction . On précisera les limites de en et en .




Partie B
 

L'objet de cette partie est d'étudier la suite définie sur par:


  1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé , pour tout entier naturel , on note la courbe représentative de la fonction définie sur par


    Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe pour plusieurs valeurs de l'entier et la droite d'équation .



    1. Interpréter géométriquement l'intégrale .
    2. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
  2. Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,


    En déduire le signe de puis démontrer que la suite est convergente.
  3. Déterminer l'expression de en fonction de et déterminer la limite de la suite .

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