Exercice type Bac

Suite récurrente définie par une fonction, démonstration par récurrence, et limite


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Bac S, 19 juin 2014, 5 points
Partie A
 

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par la courbe représentative de la fonction définie sur par:


  1. Justifier que passe par le point A de coordonnées .
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction . On précisera les limites de en et en .




Partie B
 

L'objet de cette partie est d'étudier la suite définie sur par:


  1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé , pour tout entier naturel , on note la courbe représentative de la fonction définie sur par


    Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe pour plusieurs valeurs de l'entier et la droite d'équation .



    1. Interpréter géométriquement l'intégrale .
    2. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
  2. Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,


    En déduire le signe de puis démontrer que la suite est convergente.
  3. Déterminer l'expression de en fonction de et déterminer la limite de la suite .

Solution:


Partie A
  1. On a et donc .
  2. Comme et sont définies et dérivables sur , est aussi définie et dérivable sur , comme somme et composéee de fonctions définies et dérivables sur , avec, pout tout , .
    De plus, , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et ainsi, .
    En , et , et donc, par somme des limites, .
    En , , avec et (croissance comparée en l'infini de l'exponentielle et des polynômes).
    Ainsi, , et alors, par produit des limites, .




Partie B
    1. est l'aire sous la courbe : l'aire du domaine compris entre les droites verticales d'équation et , et entre l'axe des abscisses et la courbe .
    2. Il semblerait que la courbe soit en dessous de la courbe . On peut donc conjecturer que la suite est décroissante.
      Il semblerait de plus que lorsque devient grand, la courbe se rapproche de la diagonale du carré de côté . On peut ainsi conjecturer que la suite est convergente, de limite .

  1. Pour tout entier ,

    car .
     
    De plus, pour tout , , et , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et donc, .
    On en déduit que pour tout , , et donc que

    Ainsi, la suite est décroissante.
     
    Comme pour tout et pour tout entier , , et donc, , on a .
    Ainsi, est une suite décroissante et minorée par 0: est donc convergente.
  2. Pour tout entier ,


    Comme et , on a donc, , ce qui démontre la conjecture émise au début de cette partie.


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