Exercice Bac - Nouvelle Calédonie 2015

Suites, algorithme et suite de nombres complexes


On note $\left(u_n\right) et $\left(v_n\right) les suites réelles définies, pour tout entier naturel $n, par
u_0 = 1 ~~v_0 = 0~~\text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}&=&\sqrt{3}u_n - v_n\\
v_{n+1}&=&u_n + \sqrt{3}v_n
\end{array}\right..


  1. Calculer les valeurs de $u_1,\:v_1,\:u_2,\:v_2.
  2. On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de $u_N et $v_N pour un entier naturel $N donné.
    1. On donne l'algorithme suivant :
      
      \begin{tabular}{|l|l|c|}\hline
        Entr\'ee : 		&$N$ est un nombre entier\\
        Variables :		&$K$ est un nombre entier\\
	&$S$ est un nombre r\'eel\\
	&$T$ est un nombre r\'eel\\
        Initialisation :&Affecter 1 \`a $S$\\
	&Affecter 0 \`a $T$\\
	&Affecter 0 \`a $K$\\
        Traitement :	&Tant que $K < N$\\
	&\hspace{1cm}Affecter $\sqrt{3}S - T$ \`a $S$\\
	&\hspace{1cm}Affecter $S + \sqrt{3} T$ \`a $T$\\
	&\hspace{1cm}Affecter $K + 1$ \`a $K$\\
	&Fin Tant que\\
        Sortie :&Afficher $S$\\
		&Afficher $T$\\ \hline
      \end{tabular}

      Faire fonctionner cet algorithme pour $N = 2. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous :
      
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
\hspace*{1cm}$S$\hspace*{1cm} &
\hspace*{1cm}$T$\hspace*{1cm} &
\hspace*{1cm}$K$\hspace*{1cm}\\ \hline
1 &0 &0\\ \hline
$\sqrt{3}$&$\sqrt{3}$&1\rule[-1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline
&&\\ \hline
\end{tabular}


    2. L'algorithme précédent affiche t-il les valeurs de $u_N et $v_N pour un entier $N donné ?
      Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l'algorithme proposé qui affiche bien les valeurs de $u_N et $v_N pour un entier $N.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n, $z_n = u_n + \text{i}v_n.
    On note $a le nombre complexe $a = \sqrt{3} + \text{i}.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,
      z_{n+1} = az_n.

    2. Écrire $a sous forme exponentielle.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n,
      \renewcommand\arraystretch{1.7}		
\left\{\begin{array}{l c l}
u_n&=&2^n \cos \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\\
v_n&=&2^n \sin \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)
		\end{array}\right.

Solution:


  1. $u_1 = \sqrt{3}- 0 = \sqrt{3} ; $v_1 = 1 + \sqrt{3} \times 0 = 1 ; $u_2 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} - 1 = 3 - 1 = 2 ; $v_2 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.


    1. 
\begin{tabular}{|l|l|c|}\hline

$S$			&$T$			&$K$\\ \hline
1			&0				&0\\ \hline
$\sqrt{3}$	&$\sqrt{3}$		&1\rule[-1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline
$3-\sqrt{3}$&$6-\sqrt{3}$	&$2$\\ \hline
\end{tabular}


      Les valeurs trouvées pour $N = 2 ne correspondent pas à celles de $u_2 et $v_2.
      L'algorithme n'affiche donc pas les valeurs de $u_N et $v_N.
      Une version modifiée de l' algorithme est par exemple :
      \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
Entr\'ee: &$N$ est un nombre entier\\
Variables: &$K$ est un nombre entier\\
&$S$ est un nombre r\'eel\\
&$T$ est un nombre r\'eel\\
&$U$ est un nombre r\'eel\\
Initialisation :&Affecter 1 \`a $S$\\
&Affecter 0 \`a $T$\\
&Affecter 0 \`a $K$\\
Traitement:&Tant que $K < N$\\
&\hspace{1cm}Affecter $S$ \`a $U$\\
&\hspace{1cm}Affecter $\sqrt{3}U-T$ \`a $S$\\
&\hspace{1cm}Affecter $U+\sqrt{3}T$ \`a $T$\\
&\hspace{1cm}Affecter $K+1$ \`a $K$\\
&Fin Tant que\\
Sortie:	&Afficher $S$\\
&Afficher $T$\\ \hline
\end{tabular}

    1. $ z_{n+1} = u_{n+1} + i v_{n+1} 
    = \sqrt{3}u_n- v_n + i\left( u_n+\sqrt{v_n}\right) 
    = \lp\sqrt{3} + i\right) u_n + \lp- 1 +i \sqrt{3}\right) v_n.
      Or $az_n =\lp\sqrt{3} + i \rp\lp u_n + i v_n\rp 
    = \lp\sqrt{3} + i\right) u_n + \lp i \sqrt{3} - 1 \right) v_n
    = z_{n+1}.
    2. $a pour module $|a| = \sqrt{3 + 1} = 2. D'où $a = 2\lp\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2}\right) 
    =2\left( \cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)
    = 2e^{i\frac{\pi}{6}}.
    3. La suite $\left( z_n\rp est une suite géométrique de raison $a et de premier terme $z_0 = u_0 = 1.
      Par conséquent $z_n = a^n pour tout entier naturel $n, soit $z_n = 2^n e^{ni\frac{\pi}{6}}.
      Enfin en prenant la partie réelle et la partie imaginaire :
      $u_n = 2^n\cos\lp\dfrac{n\pi}{6}\rp et $v_n = 2^n\sin\lp\dfrac{n\pi}{6}\rp.


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