Exercice Bac - Pondichéry 2014

Suite de nombres complexes


Tous les exercices type Bac 

Bac S, 8 avril 2014, Pondichéry, 5 points
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé . Pour tout entier naturel , on note le point d'affixe défini par :



On définit la suite par pour tout entier naturel .
 
  1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe .
    1. Montrer que la suite est géométrique de raison .
    2. En déduire l'expression de en fonction de .
    3. Que dire de la longueur O lorsque tend vers ?
  2. On considère l'algorithme suivant :



    1. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour ?
    2. Pour on obtient . Quel est le rôle de cet algorithme ?
    1. Démontrer que le triangle O est rectangle en .
    2. On admet que . Déterminer les valeurs de pour lesquelles est un point de l'axe des ordonnées.
    3. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points et . Les traits de construction seront apparents.



Solution:


Pour tout entier naturel , on note le point d'affixe défini par :
On définit la suite par pour tout entier naturel .
 


  1. Or et .
    Donc le nombre complexe a pour module et pour argument donc sa forme exponentielle est .

    1. Donc la suite est géométrique de raison et de premier terme .
    2. La suite est géométrique donc, pour tout , , donc .

    3. est une suite géométrique de raison ; or donc la suite converge vers 0. La longueur tend donc vers 0 quand tend vers .
    1. On fait tourner l'algorithme donné dans le texte en prenant pour la valeur :



      La valeur affichée par l'algorithme pour est 5.
    2. Cet algorithme s'arrête dès que et affiche alors , c'est-à-dire qu'il affiche la plus petite valeur de pour laquelle donc est inférieur ou égal à .
      On peut donc dire que et que . Vérification à la calculatrice: et .

    1. On considère le triangle . donc donc donc

      D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en .
    2. On admet que . Le point , d'affixe , appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si son argument est ou modulo , c'est-à-dire modulo , donc il peut s'écrire .
      Le nombre a pour argument ; .
      Mais est un entier naturel donc doit être strictement positif donc appartenir à . Donc si s'écrit avec , alors le point appartient à l'axe des ordonnées.
    3. Le point a pour affixe qui a pour argument ; ce point est donc sur l'axe des abscisses. Comme le triangle est rectangle en , on trace le cercle de diamètre ; le point est à l'intersection de ce cercle et de l'axe des abscisses.
      Le point a pour affixe qui a pour argument ; donc les points , et sont alignés. Le point se trouve donc à l'intersection du cercle de diamètre et de la droite .
      Etc. (Voir figure)
      Remarque: les points et appartiennent à l'axe des ordonnées, ce qui correspond bien à la réponse trouvée à la question 4.b.





Tous les exercices type Bac