Exercice type Bac
Suite de probabilités - Loi binomiale
Dans une foire, une publicité annonce: « Un billet sur deux est gagnant, achetez deux billets !».
Dans cet exercice, on suppose qu'effectivement, sur le nombre de billets en vente, exactement un billet sur deux est gagnant. Xavier est toujours le premier acheteur de la journée.
Calculer la probabilité qu'il ait au moins un billet gagnant (donner le résultat sous forme de fraction).


Xavier achète deux billets.
- Démontrer que la probabilité
qu'il achète au moins un billet gagnant est:
.
- Calculer
et expliquer ce résultat.
- Démontrer que, pour tout entier naturel
non nul,
.


Xavier revient chaque jour, pendant 3 jours, acheter deux billets.
- Quelle est la probabilité
qu'il obtienne, au cours de ces 3 jours, au moins un billet gagnant ?
- Etudier la limite de la suite
.
Solution:
Partie A Notons



![]() |
L'événement « avoir au moins un billet gagnant» est le contraire de
l'événement « avoir exactement deux billets perdants».
La probabilité de l'événement « Xavier achète au moins un billet gagnant» est donc: ![]() |
![]() |
|
- On répète
, de manière indépendante, la même expérience qui consiste à acheter deux billets.
On notel'événement succès « obtenir au moins un billet gagnant». D'après la partie B, on a:
. Notons
la variable aléatoire égale au nombr de jours où Xavier obtient au moins gagnant, c'est-à-dire la variable aléatoire égale au nombre de succès sur les
répétitions de l'expérience. Alors,
suit la loi binomiale de paramètres
et
, d'où
-
est une fraction rationnelle, et donc sa limite en l'infini est égale à la limite de ses termes de plus haut degré:
.
Ainsi,.
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