Bac Amérique du nord 2013 - Suites récurrentes

Calculs à l'aide d'un algorithme et d'une suite intermédiaire logarithmique


On considère la suite $\left( u_n\rp définie par $u_0=1 et, pour tout entier naturel $n,
 u_{n+1} = \sqrt{2u_n}.


  1. On considère l'algorithme suivant:

    
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un r\'eel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter \`a $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 \`a $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}

    1. Donner une valeur approchée à $10^{-4} près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n=3.
    2. Que permet de calculer cet algorithme ?
    3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n.
      
\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		&20\\ \hline 
Valeur affich\'ee	&1,4142 &1,9571 &1,9986 &1,9999 &1,9999\\ \hline
\end{tabular}

      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right) ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2.
    2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right).
    3. Démontrer que la suite $\left( u_n\rp est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
  2. On considère la suite $\left( v_n\rp définie, pour tout entier naturel $n, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2.
    1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2} et de premier terme $v_0=-\ln 2.
    2. Déterminer, pour tout entier naturel $n, l'expression de $v_{n} en fonction de $n, puis de $u_{n} en fonction de $n.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left( u_n\rp.
    4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n telle que $u_n>1,999.
      
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables:&$n$ est un entier naturel\\
& $u$ est un r\'eel\\
Initialisation:&Affecter \`a $n$ la valeur $0$\\
&Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ 
Traitement:&\\
&\\ 
Sortie:&\\ \hline
\end{tabular}


Solution:


Amérique du Nord, 2013
On considère la suite $\left( u_n\rp définie par $u_0=1 et, pour tout entier naturel $n,
u_{n+1}=\sqrt{2u_n}.


    1. Pour $n=3, la variable $i de la boucle varie de 1 à 3:
      • Pour $i=1, on affecte à $u la valeur $\sqrt{2u}=\sqrt{2}\simeq 1,4142
      • Pour $i=2, on affecte à $u la valeur $\sqrt{2u}\simeq\sqrt{2\times 1,4142}\simeq 1,6818
      • Pour $i=3, on affecte à $u la valeur $\sqrt{2u}\simeq\sqrt{2\times 1,6818}\simeq 1,8340
      L'algorithme affiche finalement la dernière valeur de $u trouvée: $1,8340.
    2. Cet algorithme permet de calculer et d'afficher le terme de rang $n de la suite $\left( u_n\rp.
    3. D'après ce tableau des valeurs approchées, on peut conjecturer que la suite est croissante et converge vers 2.
    1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n, $0<u_n\leqslant 2. Initialisation: Pour $n=0, $u_0=1, donc on a bien $0<u_n\leqslant2. Hérédité: Supposons que pour un entier naturel $n on ait $0<u_n\leqslant2, alors,
      en multiplinat ces inégalités par $2>0, $0<2u_n\leqslant 4,
      puis, comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R_+, on a $0=\sqrt{0}<\sqrt{2u_n}\leqslant \sqrt{4}=2.
      Ainsi, comme $\sqrt{2u_n}=u_{n+1}, on a donc bien encore, au rang $n+1, $0<u_{n+1}\leqslant2.
      Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel $n, $0<u_n\leqslant2.
    2. Pour déterminer le sens de variation de la suite, on peut procéder de (au moins) deux façons:
      1ère méthode: par récurrence.
      Initialisation: $u_0=2 et $u_1=\sqrt{2}\simeq 1,41<u_0. On a donc initialement, pour $n=0, $u_{n+1}<u_n.
      Hérédité: Supposons que pour un entier $n, on ait $u_{n+1}<u_n, alors,
      en multipliant par $2>0, $2u_{n+1}<2u_n,
      puis, comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R_+ et que, d'après la question précédente, $u_n>0 pour tout $n, on a donc $\sqrt{2u_{n+1}}<\sqrt{2u_n},
      soit $u_{n+2}<u_{n+1}, et la propriété $u_{n+1}<u_n est encore vraie au rang $n+1 suivant.
      Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n, $u_{n+1}<u_n, c'est-à-dire que la suite $\left( u_n\rp est strictement croissante.
       
      2ème méthode: démonstration directe.
      Pour $n\in\N, on a $u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n}-u_n, soit, en utilisant la quantité conjuguée:
      u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n}-u_n
    =\dfrac{2u_n-u_n^2}{\sqrt{2u_n}+u_n}
    =\dfrac{u_n\left( 2-u_n\rp}{\sqrt{2u_n}+u_n}

      Or, d'après la question précédente, $0<u_n\leqslant 2, et donc, $2-u_n\geqslant0, et $\sqrt{u_n}+u_n>0.
      On a donc $u_{n+1}-u_n\geqslant 0, et la suite $\left( u_n\rp est donc croissante.
    3. On vient de prouver la suite $\left( u_n\rp est strictement croissante et est majorée par 2, on en déduit qu'elle converge vers une limite réelle $l.
    1. Pour tout entier naturel $n, $v_n=\ln u_n-\ln2=, donc,
      v_{n+1} = \ln u_{n+1}-\ln2=\ln\lp\sqrt{2u_{n}}\rp-\ln2
    =\dfrac12\ln\left( 2u_n\rp-\ln2
    =\dfrac12\left( \ln2+\ln u_n\rp-\ln2
    =\dfrac12\lp\ln u_n-\ln2\rp=\dfrac12 v_n

      Ainsi, $\left( v_n\rp est la suite géométrique de raison $\dfrac12 et de 1er terme $v_0=\ln u_0-\ln2=\ln1-\ln2=-\ln2.
    2. On déduit de ce qui précède que pour tout entier naturel $n, $v_n=-\ln 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n, puis que $v_n=\ln u_n-\ln2\iff \ln u_n=v_n+\ln2\iff u_n=e^{v_n+\ln2}=e^{v_n}e^{\ln2}=2e^{v_n}.
    3. Comme $0<\dfrac12<1, $\dsp\lim_{n\to+\infty}{\lp\dfrac12\rp^n}=0 et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}{\left( v_n\rp}=0.
      Comme $\dsp\lim_{x\to0}{e^x}=1, par composition des limites on obtient: $\dsp\lim_{n\to+\infty}{e^{v_n}}=1 et finalement: $\dsp\lim_{n\to+\infty}{u_n}=2.

    4. 
    \begin{tabular}{|l l|}\hline		 
      Variables:		&$n$ est un entier naturel\\
      & $u$ est un r\'eel\\
      Initialisation:&Affecter \`a $n$ la valeur $0$\\
      &Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ 
      Traitement:&Tant que $u\leqslant 1,999$\\
      &Affecter \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
      &Affecter \`a $n$ la valeur $n+1$\\ 
      Sortie:&Afficher $n$\\ \hline
    \end{tabular}



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