Bac Nouvelle Calédonie 2014 - Suites récurrentes

Suites récurrentes - Construction graphique - Algorithme et limite


On considère la fonction $f définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[ par
f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.


On admettra que $f est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[.
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C} représentative de $f ainsi que la droite $\mathcal{D} d'équation $y = x.


  1. Démontrer que $f est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[.
  2. Résoudre l'équation $f(x) = x sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[. On note $\alpha la solution.
    On donnera la valeur exacte de $\alpha puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2} près.
  3. On considère la suite $\left(u_n\right) définie par $u_0 = 1 et, pour tout entier naturel $n, $u_{n+1} = f\left(u_n\right).
    Sur la figure de annexe 1, en utilisant la courbe $\mathcal{C} et la droite $\mathcal{D}, placer les points $M_0, $M_1 et $M_2 d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0, $u_1 et $u_2.
    Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left( u_n\rp ?
    1. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n,
      0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha

      $\alpha est le réel défini dans la question 2.
    2. Peut-on affirmer que la suite $\left( u_n\rp est convergente ? On justifiera la réponse.
  4. Pour tout entier naturel $n, on définit la suite $\left(S_n\right) par
    S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.


    1. Calculer $S_0, $S_1 et $S_2. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2} près.
    2. Compléter l'algorithme donné en annexe 2 pour qu'il affiche la somme $S_n pour la valeur de l'entier $n demandée à l'utilisateur.
    3. Montrer que la suite $\left( S_n\rp diverge vers $+ \infty.

Annexe 1 à rendre avec la copie




\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psline[linecolor=cyan](7.2,7.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}


Annexe 2 à rendre avec la copie




\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Entr\'ee:}&$n$ un entier naturel \\
\textbf{Variables:}&$u$ et $s$ sont des variables r\'eelles\\ 
&$n$ et $i$ sont des variables enti\`eres\\
\textbf{Initialisation:}& $u$ prend la valeur 1 \\
&$s$ prend la valeur $u$ \\
&$i$ prend la valeur 0\\ 
&Demander la valeur de $n$ \\
\textbf{Traitement:}&Tant que \ldots\\ 
&Affecter \`a $i$ la valeur $i + 1$\\
&Affecter \`a $u$ la valeur \ldots\\
&Affecter \`a $s$ la valeur \ldots\\
&Fin Tant que \\
\textbf{Sortie:}&Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}

Solution:


Nouvelle Calédonie, 2014
On considère la fonction $f définie sur l'intervalle $[0;+\infty[ par $f(x)=5-\dfrac{4}{x + 2}.
  1. $f'(x)=0-4\dfrac{-1}{(x+2)^2}=\dfrac{4}{(x+2)^2}>0 sur $[0;+\infty[.
    Donc la fonction $f est strictement croissante sur $[0;+\infty[.
  2. On résout dans $[0;+\infty[ l'équation $f(x)=x:
    $f(x) = x \iff 5-\dfrac{4}{x+2}=x \iff \dfrac{5(x+2)-4 -x(x+2)}{x+2} = 0 \iff 
\dfrac{5x+10-4-x^2-2x}{x+2}=0\\[5pt]
\phantom{f(x)=x} \iff \dfrac{-x^2+3x+6}{x+2}=0 \iff
-x^2+3x+6 = 0 \text{ et }x+2 \neq 0
    Le trinôme du second degré $-x^2+3x+6 a pour discriminant $\Delta=9-4\times 6\times (-1)=33>0, et admet donc 2 solutions réelles: $\dfrac{-3-\sqrt{33}}{-2}=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2} et $\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}.
    Cette deuxième solution est négative donc l'unique solution de l'équation $f(x)=x dans l'intervalle $[0;+\infty[ est $\alpha=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}\approx 4,37.
  3. On considère la suite $\left(u_n\right) définie par $u_0 = 1 et, pour tout entier naturel $n, $u_{n+1} = f\left(u_n\right).
    Sur la figure de annexe 1, on place les points $M_0, $M_1 et $M_2 d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0, $u_1 et $u_2.
    On peut conjecturer que la suite $(u_n) est croissante et converge vers $\alpha.
    1. On cherche à montrer que la propriété $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha est vraie pour tout entier $n.
      Initialisation: Pour $n=0, $u_n=u_0=1 et $u_{n+1}=u_1=f(u_0)=5-\dfrac{4}{1+2}=\dfrac{11}{3}; de plus $\alpha \approx 4,37. On a $0 \leqslant 1 \leqslant \dfrac{11}{3} \leqslant \alpha ce qui veut dire que la propriété est vraie au rang 0.
       
      Hérédité: On suppose la propriété vraie au rang $p \geqslant 0, autrement dit: $0\leqslant u_p \leqslant u_{p+1} \leqslant \alpha.
      On sait d'après la question 1. que la fonction $f est strictement croissante sur $[0;+\infty[ donc: $0\leqslant u_p \leqslant u_{p+1} \leqslant \alpha \Longrightarrow f(0) \leqslant f(u_p) \leqslant f(u_{p+1}) \leqslant f(\alpha)
      $f(0)=3 \geqslant 0, $f(u_p)=u_{p+1} et $f(u_{p+1})=u_{p+2}.
      De plus, $\alpha est solution de l'équation $f(x)=x donc $f(\alpha)=\alpha.
      On a donc $0 \leqslant u_{p+1} \leqslant u_{p+2} \leqslant \alpha; on peut dire que la propriété est vraie au rang $p+1.
       
      Conclusion: On a donc démontré d'après le principe de récurrence, que, pour tout entier naturel $n, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha.
    2. Pour tout $n, $u_n \leqslant u_{n+1} donc la suite $(u_n) est croissante. Pour tout $n, $u_n \leqslant \alpha donc la suite $(u_n) est majorée par $\alpha.
      On en déduit que la suite $(u_n) est convergente.
  4. Pour tout entier naturel $n, on définit la suite $\left(S_n\right) par $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.
    1. $S_0=u_0=1; $S_1=u_0+u_1 = 1+\dfrac{11}{3} = \dfrac{14}{3} \approx 4,67
      $S_2= u_0+u_1+u_2 = S_1+u_2; $u_2=f(u_1)=f\left(\dfrac{11}{3}\right ) = \dfrac{73}{17} donc $S_2 = \dfrac{14}{3}+\dfrac{73}{17} = \dfrac{457}{51} \approx 8,960 donc $S_2 \approx 8,96.
    2. On complète l'algorithme donné en annexe 2 pour qu'il affiche la somme $S_n pour la valeur de l'entier $n demandée à l'utilisateur.
    3. On sait que la suite $(u_n) est croissante donc, pour tout $n de $\N, $u_n\geqslant u_0.
      Or $u_0 = 1, donc, pour tout $n, $u_n \geqslant 1 et donc $S_n = u_0+ u_1 + \ldots + u_n \geqslant n+1. Or $\dsp\lim_{n \to +\infty} n+1=+\infty donc, d'après les théorèmes de comparaison sur les limites: $\dsp\lim_{n\to +\infty} S_n=+\infty

Annexe
\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psline[linecolor=cyan](7.2,7.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\psset{linecolor=red}
\psline(1,0)(1,3.67)
\psline(0,3.67)(3.67,3.67)
\psline(3.67,0)(3.67,4.294)
\psline(0,4.294)(4.294,4.294)
\psline(4.294,0)(4.294,4.364)
\uput*{8pt}[d](1,0){\red $M_0$}
\uput*{8pt}[d](3.67,0){\red $M_1$} \uput[l](0,3.67){\red $u_1$} 
\uput*{8pt}[d](4.294,0){\red $M_2$} \uput[l](0,4.294){\red $u_2$}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](4.37,0)(4.37,4.37)
\uput[dr](4.37,0){\blue $\alpha$}
\end{pspicture}


Annexe 2




\renewcommand\arraystretch{1.2}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Entr\'ee:}&$n$ un entier naturel \\
\textbf{Variables:}&$u$ et $s$ sont des variables r\'eelles\\ 
&$n$ et $i$ sont des variables enti\`eres\\
\textbf{Initialisation:}& $u$ prend la valeur 1 \\
&$s$ prend la valeur $u$ \\
&$i$ prend la valeur 0\\ 
&Demander la valeur de $n$ \\
\textbf{Traitement:}& Tant que $\red i < n$\\ 
& \hspace*{1cm} Affecter \`a $i$ la valeur $i + 1$\\
& \hspace*{1cm} Affecter \`a $u$ la valeur $\red 5 - \dfrac{4}{u + 2}$\\ 
& \hspace*{1cm} Affecter \`a $s$ la valeur $\red s+u$\\ 
&Fin Tant que \\
\textbf{Sortie:}&Afficher $s$\\ \hline
\end{tabular}



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