Bac Asie 2013 - Suites récurrentes

Suites récurrentes - Algorithme et limite

Exercice corrigé Bac, Asie 2013: un exercice complet sur les suites récurrentes, démonstration par récurrence, et algorithme


Partie A

On considère la suite $\left( u_n\rp définie par: $u_0=2 et, pour tout entier naturel $n:
u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_n}{3 + u_n}.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, on a : $u_{n} > 1.
    1. Établir que, pour tout entier naturel $n, on a: $u_{n+1}- u_{n}=\dfrac{\lp1 - u_n\rp\lp1 + u_n\rp}{3+u_n}.
    2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left( u_n\rp.
      En déduire que la suite $\left( u_n\rp converge.



Partie B


On considère la suite $\left( u_n\rp définie par: $u_0=2 et, pour tout entier naturel $n:
u_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l'algorithme suivant :
    \begin{tabular}{|c |l|}\hline Entr\'ee& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline Initialisation &Affecter \`a $u$ la valeur 2\\ \hline Traitement et sortie&POUR $i$ allant de 1 \`a $n$\\ &\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\ &\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline &FIN POUR\\ \hline \end{tabular}

    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n=3. Les valeurs de $u seront arrondies au millième.

    \begin{tabular}{|*4{p{1.5cm}|}}\hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $i$&1&2& 3\\ \hline \rule[1.4cm]{0.3cm}{-0.8cm} $u$&&&\\ \hline \end{tabular}

  2. Pour $n=12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
    \begin{tabular}{|c|*{9}{p{1.3cm}|}}\hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm} $u$&\footnotesize{1,0083}&\footnotesize{0,9973}&\footnotesize{1,0009}&\footnotesize{0,9997}&\footnotesize{1,0001}&\footnotesize{0,99997}&\footnotesize{1,00001}&\footnotesize{0,999996}&\footnotesize{1,000001}\\ \hline \end{tabular}


    Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right) à l'infini.
  3. On considère la suite $\left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel $n, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}.
    1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp est géométrique de raison $-\dfrac13.
    2. Calculer $v_0 puis écrire $v_n en fonction de $n.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n, on a: $v_n\neq 1.
    2. montrer que, pour tout entier naturel $n, on a: $u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left( u_n\rp.

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