Bac Asie 2013 - Suites récurrentes

Suites récurrentes - Algorithme et limite


Partie A

On considère la suite $\left( u_n\rp définie par: $u_0=2 et, pour tout entier naturel $n:
u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_n}{3 + u_n}.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, on a : $u_{n} > 1.
    1. Établir que, pour tout entier naturel $n, on a: $u_{n+1}- u_{n}=\dfrac{\lp1 - u_n\rp\lp1 + u_n\rp}{3+u_n}.
    2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left( u_n\rp.
      En déduire que la suite $\left( u_n\rp converge.



Partie B


On considère la suite $\left( u_n\rp définie par: $u_0=2 et, pour tout entier naturel $n:
u_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l'algorithme suivant :
    
\begin{tabular}{|c |l|}\hline
 Entr\'ee& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline 
Initialisation &Affecter \`a $u$ la valeur 2\\ \hline 
Traitement et sortie&POUR $i$ allant de 1 \`a $n$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\  
&\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline 
&FIN POUR\\ \hline
\end{tabular}

    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n=3. Les valeurs de $u seront arrondies au millième.

    
\begin{tabular}{|*4{p{1.5cm}|}}\hline 
\rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm}
$i$&1&2& 3\\ \hline 
\rule[1.4cm]{0.3cm}{-0.8cm}
$u$&&&\\ \hline 
\end{tabular}

  2. Pour $n=12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
    
\begin{tabular}{|c|*{9}{p{1.3cm}|}}\hline 
\rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm}
$i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
\rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm}
$u$&\footnotesize{1,0083}&\footnotesize{0,9973}&\footnotesize{1,0009}&\footnotesize{0,9997}&\footnotesize{1,0001}&\footnotesize{0,99997}&\footnotesize{1,00001}&\footnotesize{0,999996}&\footnotesize{1,000001}\\ \hline
\end{tabular}


    Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right) à l'infini.
  3. On considère la suite $\left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel $n, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}.
    1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp est géométrique de raison $-\dfrac13.
    2. Calculer $v_0 puis écrire $v_n en fonction de $n.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n, on a: $v_n\neq 1.
    2. montrer que, pour tout entier naturel $n, on a: $u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left( u_n\rp.

Solution:


Partie A

  1. Initialisation : la relation est vraie au rang $0;
    Hérédité : supposons qu'il existe un naturel $p tel que $u_p>1.
    $\dfrac{1+3u_p}{3+u_p}=\dfrac{3+u_p-2+2u_p}{3+u_p}
=\dfrac{\lp3+u_p\right) + \lp 2u_p-2\right)}{3+u_p}
=1+2\dfrac{u_p-1}{3+u_p}.
    Par hypothèse de récurrence on a:
    $u_{p} - 1 et comme $u_{p} > 1,\, 3 + u_{p} > 4 > 0 donc son inverse $\dfrac{1}{3 + u_{p}} > 0 et finalement $\dfrac{u_{p} - 1}{3 + u_{p}} > 0, c'est-à-dire que $u_{p+1} = \dfrac{1 + 3u_{p}}{3 + u_{p}} > 1
    Conclusion: on a démontré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel $n, $u_n>1.
    1. Pour tout entier naturel $n, $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}} - u_{n} = \dfrac{1 + 3u_{n} - 3u_{n}- u_{n}^2}{3 + u_{n}} = \dfrac{1 - u_{n}^2}{3 + u_{n}} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}.
    2. On sait que pour tout entier $n, $u_n>1 \Rightarrow u_n^2 >
    1^2 \Rightarrow 1 - u_{n}^2 < 0 et comme $3 + u_{n} > 0, on a finalement $u_{n+1}-u_n<0, ce qui signifie que la suite $\left( u_n\rp est décroissante.
      La suite $\left( u_n\rp est décroissante et minorée par $1: elle converge donc vers une limite supérieure ou égale à $1.



Partie B



  1. 
\begin{tabular}{|*{4}{p{1.5cm}|}}\hline 
\rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm}
$i$&1&2& 3\\ \hline 
\rule[1.3cm]{0.3cm}{-0.8cm}
$u$&0,800&1,077&0,976\\ \hline 
\end{tabular}

  2. La suite semble converger vers $1.
    1. $v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1} = \dfrac{\frac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}} - 1}{\frac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}} + 1}  = \dfrac{0,5 - 0,5u_{n}}{1,5 + 1,5u_{n}} = \dfrac{- 0,5\left(u_{n} - 1\right)}{1,5\left(u_{n} + 1 \right)} = -\dfrac{1}{3}v_{n}.
      La suite $\left( v_n\rp est donc géométrique de raison $-\dfrac13.
    2. On a $v_0=\dfrac{2-1}{2+3}=\dfrac13.
      On sait qu'alors pour tout naturel $n, $v_n=\dfrac13\tm\lp-\dfrac13\rp^n.
    1. Quel que soit le naturel $n, $\lp-\dfrac13\rp^n \leqslant1, donc $v_n\leqslant\dfrac13 et par conséquent $v_n\neq 1.
    2. $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1} \iff v_n\left(u_{n} + 1 \right) = u_{n} - 1 \iff v_{n}u_{n} + v_{n} = u_{n} - 1 \iff v_{n}u_{n} - u_{n}+  =  - 1  - v_{n} \iff u_{n}\left(v_{n} - 1\right) = - 1  - v_{n} et comme $v_n \neq 1,
      $u_n=\dfrac{- 1 - v_{n}}{v_{n} - 1} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}.
    3. Comme $- 1 < - \dfrac{1}{3} < 1, on sait que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(- \dfrac{1}{3} \right)^n = 0, soit $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n=0, donc d'après le résultat précédent $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{n} = \dfrac{1}{1} = 1.


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