Trigonométrie - Fonction tangente

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Soit $f la fonction tangente, définie sur $I=\Bigl[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[ par $f(x)=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}.
  1. Montrer que, pour tout $x\in I, $f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)} et que $f'(x)=1+\tan^2(x).
  2. Exprimer, pour tout $x\in I, $\tan\left( \pi-x\rp puis $\tan\left( x+\dfrac{\pi}{2}\rp en fonction de $\tan(x).

Solution:


Soit $f la fonction tangente, définie sur $I=\Bigl[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[ par $f(x)=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}.
  1. On a $f=\dfrac{u}{v}, avec $\la\begin{array}{l}u(x)=\sin(x)\\v(x)=\cos(x)\enar\right., donc $\la\begin{array}{l}u'(x)=\cos(x)\\v'(x)=-\sin(x)\enar\right., et alors, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2},
    soit $f'(x)=\dfrac{\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\lp-\sin(x)\rp}{\cos^2(x)}=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}.
    Comme, pour tout réel $x, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1, on a alors $f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}.
    On peut aussi écrire $f'(x)=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\lp\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\rp^2=1+\tan^2(x).
  2. Pour tout réel $x, on a $\cos(\pi-x)=-\cos(x) et $\sin(\pi-x)=\sin(x).
    Ainsi, pour tout $x\in I, $\tan(\pi-x)=\dfrac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}=\dfrac{\sin(x)}{-\cos(x)}=-\tan(x).
    De même, pour tout réel $x, on a $\cos\left( x+\dfrac\pi2\rp=-\sin(x) et $\sin\left( x+\dfrac\pi2\rp=\cos(x).
    Ainsi, pour tout $x\in I, $\tan\left( x+\dfrac\pi2\rp=\dfrac{\sin\left( x+\dfrac\pi2\rp}{\cos\left( x+\dfrac\pi2\rp}=\dfrac{-\cos(x)}{\sin(x)}=-\dfrac{1}{\tan(x)}.


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