Exercice Bac S Amérique du nord, juin 2016

Volume d'un récupérateur d'eau

Exercice corrigé Bac S Amérique du nord, juin 2016: Etudes de fonctions avec un logarithme, calculs de pentes, tangentes, primitive, et intégrales


Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant:

Cette cuve est schématisée ci-contre.
$$(-1.8,-0.5)(7,5) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7) \rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}} \psline(2.1,2.7)(5.4,2) \psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7) \psline(2,1.8)(5.4,2) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7) \psset{arrowsize=2pt 3} \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05) \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05) \uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m} $$


La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$ définie par:

\[f(x)=x\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2.\]

La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points $A(2;2)$, $I(2;0)$ et $B(2e;2)$.

\[\psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-0.25,-0.3)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.25)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5) \uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2) \psdots(2,2)(5.437,2) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub} \uput[u](2,2){$A$} \uput[u](5.437,2){$B$} \uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$} \uput[dl](2,0){$I$} \uput[dr](3.437,0){$D$} \rput(1,1){Terrain} \rput(3.2,1.2){Cuve} \rput(4.7,0.5){Terrain} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2) \end{pspicture*}\]




Partie A   L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.


  1. Justifier que les points $B$ et $I$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$ et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $I$.
  2. On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$, et $D$ le point d'intersection de la droite $\mathcal{T}$ avec l'axe des abscisses.
    1. Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ et en déduire les coordonnées de $D$.
    2. On appelle $S$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les droites d'équations $y=2$, $x=2$ et $x=2e$. $S$ peut être encadrée par l'aire du triangle $ABI$ et celle du trapèze $AIDB$.
      Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
    1. Montrer que, sur l'intervalle $[2;2e]$, la fonction $G$ définie par
      \[G(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-\dfrac{x^2}{4}\]

      est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x)=x\ln\lp\dfrac{x}{2}\rp$.
    2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;2e]$.
    3. Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ et en déduire une valeur approchée du volume $V$ de la cuve au $m^3$ près.



Partie B   Pour tout réel $x$ compris entre $2$ et $2e$, on note $v(x)$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à $f(x)$.
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2 ; 2e],

\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]


\[\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm} \begin{pspicture}(-.9,-0.5)(5.8,3.2) \psline(0,-0.5)(0,3.5) \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1) \multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)} \rput{3}(0,0){ \psline(-0.5,0)(6,0) \multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}} } \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.37,2.47)(5.08,1.7) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{ \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(5.08,1.75) \psline(5.08,1.75)(2,1.5) } \pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95) \psline(2,1.85)(2,1.5) \psline(0.35,2.7)(0.35,2.3) \pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.08,0.2)(5.08,1.75)(0,1.37) \uput[d](5.2,0.3){$x$} \uput[l](0,1.37){$f(x)$} \multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}} \end{pspicture}\]


  1. Quel volume d'eau, au m$^3$ près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
  2. On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début d'exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B.
    On considère l'algorithme ci-dessous.
    Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
    Variables: a est un réel
    b est un réel
    Traitement: a prend la valeur 2
    b prend la valeur 2e
    Tant que v(b)-v(a)>10-3 faire:
    c prend la valeur (a+b)/2
    Si v(c)<V/2, alors:
    a prend la valeur c
    Sinon
    b prend la valeur c
    Fin Si
    Fin Tant que
    Sortie: Afficher f(c)

Autres ressources, exercices, cours, …