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Calculs de fonctions dérivées - Fonction exponentielle

Exercices corrigés et détaillés

Rappel des formules


Formules de dérivation de l'exponentielle

Faut-il rappeler les formules de dérivation de la fonction exponentielle ?


Formules qu'on ajoute aux autres formules générales de dérivations:

Forumles générales de dérivation des fonctions

Faut-il rappeler les formules générales de dérivation: fonctions usuelles et opérations sur les dérivées ?


et sans oublier, bien sûr, les règles de calcul algébrique sur l'exponentielle (et plus généralement les puissances):

Propriétés algébriques de l'exponentielle

Faut-il rappeler les formules de calcul algébrique sur l'exponentielle ?



Exercices corrigés: calculs de fonctions dérivées

Calculer l'expression $f'(x)$ des fonctions dérivées dans tous les cas suivants.
Écrire la fonction dérivée sous la forme la plus "simplifiée" possible: une seule fraction au plus (même dénominateur …), et une expression la plus factorisée possible.



  1. $f(x)=3e^x$

    $f'(x)=3e^x$

    On a $f=3u$ avec $u(x)=e^x$ donc $u'(x)=e^x$ et alors $f'=3u'$,
    soit $f'(x)=3e^x$.




  2. $f(x)=xe^x$

    $f'(x)=(1+x)e^x$

    On a $f=uv$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$, et alors $f'=u'v+uv'$
    soit finalement, en factorisant,
    \[f'(x)=1e^x+xe^x=\lp1+x\right) e^x\]





  3. $f(x)=\left( x^2+2\right) e^x$

    $f'(x)=\left( x^2+2x+2\right) e^x$

    On a $f=uv$ avec $u(x)=x^2+2$ donc $u'(x)=2x$ et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$, et alors $f'=u'v+uv'$
    soit finalement, en factorisant,
    \[f'(x)=2xe^x+\left( x^2+2\right) e^x=\left( x^2+2x+2\right) e^x\]





  4. $f(x)=\dfrac{1}{2x+3}e^x$

    $f'(x)=\dfrac{2x+1}{(2x+3)^2}e^x$

    On a $f=uv$ avec $u(x)=\dfrac{1}{2x+3}$ donc $u=\dfrac1{w}$ avec $w(x)=2x+3$, donc $w'(x)=2$ et $u'=-\dfrac1{w^2}$ soit $u'(x)=-\dfrac2{(2x+3)^2}$, et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$.
    On a alors $f'=u'v+uv'$ soit
    \[f'(x)=-\dfrac2{(2x+3)^2}e^x+\dfrac1{2x+3}e^x\]

    et aussi, en factorisant par l'exponentielle et en mettant sur le même dénominateur:
    \[f'(x)=\dfrac{2x+1}{(2x+3)^2}e^x\]




    Remarque/autres calculs: On peut aussi écrire et dériver un quotient: $f(x)=\dfrac{e^x}{2x+3}$, donc $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=e^x$ donc $u'(x)=e^x$ et $v(x)=2x+3$ donc $v'(x)=2$, et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
    soit, en factorisant finalement par l'exponentielle,
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{e^x(2x+3)-e^x\tm2}{(2x+3)^2}\\[1.2em] &=e^x\dfrac{2x+1}{(2x+3)^2}\enar\]




  5. $f(x)=\dfrac2{e^x+1}$

    $f'(x)=\dfrac{-2e^x}{\left( e^x+1\rp^2}$

    On a $f=2\tm\dfrac1u$ avec $u(x)=e^x+1$ donc $u'(x)=e^x$ et alors $f'=2\tm\dfrac{-u'}{u^2}$ soit
    \[f'(x)=2\dfrac{-e^x}{\left( e^x+1\rp^2}\]



  6. $f(x)=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}$

    $f'(x)=\dfrac{-e^x}{\left( e^x+1\rp^2}$

    On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=e^x+2$ donc $u'(x)=e^x$ et $v(x)=e^x+1$ donc $v'(x)=e^x$, et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
    soit
    \[\begin{array}{ll} f'(x)&=\dfrac{e^x\left( e^x+1\rp-\left( e^x+2\rp e^x}{\left( e^x+1\rp^2}\\[1.2em] &=\dfrac{\left( e^x\rp^2+e^x-\left( e^x\rp^2-2e^x}{\left( e^x+1\rp^2}\\[1.2em] &=\dfrac{-e^x}{\left( e^x+1\rp^2} \enar\]



    Remarque/autres calculs: On peut aussi écrire, dès le début,
    \[\begin{array}{ll} f(x)&=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}\\[1.2em] &=\dfrac{\left( e^x+1\rp+1}{e^x+1}\\[1.2em] &=\dfrac{e^x+1}{e^x+1}+\dfrac1{e^x+1}\\[1.2em] &=1+\dfrac1{e^x+1}\enar\]

    et alors, on écrit cette fois $f=1+\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=e^x+1$ donc $u'(x)=e^x$ et alors $f'=0-\dfrac{u'}{u^2}$
    soit
    \[f'(x)=-\dfrac{e^x}{\left( e^x+1\rp^2}\]



  7. $f(x)=\left( e^x+2x\rp^2$

    $f'(x)=2\left( e^x+2\rp\left( e^x+2x\rp$

    On a $f=u^2$ avec $u(x)=e^x+2x$ donc $u'(x)=e^x+2$, et alors $f'=2u'u$
    soit
    \[f'(x)=2\left( e^x+2\rp\left( e^x+2x\rp\]



  8. $f(x)=e^{3x+2}$

    $f'(x)=3e^{3x+2}$

    On a $f=e^u$ avec $u(x)=3x+2$ donc $u'(x)=3$ et alors $f'=u'e^u$
    soit
    \[f'(x)=3e^{3x+2}\]



  9. $f(x)=e^{x^2}$

    $f'(x)=2xe^{x^2}$

    On a $f=e^u$ avec $u(x)=x^2$ donc $u'(x)=2x$ et alors $f'=u'e^u$
    soit
    \[f'(x)=2xe^{x^2}\]



  10. $f(x)=e^{-x}$

    $f'(x)=-e^{-x}$


  11. $f(x)=xe^{-2x}$

    $f'(x)=\left( 1-2x\right) e^{-2x}$


  12. $f(x)=(x+2)e^{x+2}$

    $f'(x)=\left( x+3\right) e^{x+2}$


  13. $f(x)=xe^{x^2}$

    $f'(x)=\lp1+2x^2\right) e^{x^2}$


  14. $f(x)=\dfrac{e^{2x}}{e^x+1}$

    $f'(x)=e^{2x}\dfrac{e^x+2}{\left( e^x+1\rp^2}$


  15. $f(x)=\dfrac{e^{2x}+2}{e^{3x}+3}$

    $f'(x)=e^{2x}\dfrac{-e^{3x}+6-6e^x}{\left( e^{3x}+3\rp^2}$



  16. $f(x)=\dfrac{e^{x^2}}{e^x+x}$

    $f'(x)=e^{x^2}\,\dfrac{2xe^x+2x-e^x}{\left( e^x+1\rp^2}$


  17. $f(x)=\dfrac{xe^x}{e^{2x}+1}$

    $f'(x)=e^x\dfrac{(1-x)e^{2x}+(1+x)}{\left( e^{2x}+1\rp^2}$


  18. $f(x)=\left( e^x+3\rp^2$

    $f'(x)=2e^x\left( e^x+3\rp$


  19. $f(x)=\left( e^{3x}+3x+1\rp^3$

    $f'(x)=3\left( 3e^{3x}+3\rp\,\left( e^{3x}+3x+1\rp^2$


  20. $f(x)=\lp\dfrac{e^x}{x+1}\rp^2$

    $f'(x)=\dfrac{2xe^{2x}}{(x+1)^3}$





Voir aussi: