Calculs de fonctions dérivées - Fonction exponentielle

Exercices corrigés et détaillés

Rappel des formules


Formules de dérivation de l'exponentielle

Faut-il rappeler les formules de dérivation de la fonction exponentielle ?


Formules qu'on ajoute aux autres formules générales de dérivations:

Forumles générales de dérivation des fonctions

Faut-il rappeler les formules générales de dérivation: fonctions usuelles et opérations sur les dérivées ?


et sans oublier, bien sûr, les règles de calcul algébrique sur l'exponentielle (et plus généralement les puissances):

Propriétés algébriques de l'exponentielle

Faut-il rappeler les formules de calcul algébrique sur l'exponentielle ?



Exercices corrigés: calculs de fonctions dérivées

Calculer l'expression f '(x) des fonctions dérivées dans tous les cas suivants.
Écrire la fonction dérivée sous la forme la plus "simplifiée" possible: une seule fraction au plus (même dénominateur …), et une expression la plus factorisée possible.
  1. f (x) = 3ex
    f (x) = 3ex
    On a f = 3u avec u = ex donc u' = ex et alors f '= 3u', soit finalement f '(x) = 3ex.
  2. f (x) = e3x+2
    f '(x) = 3e3x+2
    On a f = eu avec u(x) = 3x+2 donc u'(x) = 3 et alors f '(x) = u'eu
    soit
    f '(x) = 3e3x+2
  3. f (x) = ex2
    f '(x) = 2xex2
    On a f = eu avec u(x) = x2 donc u'(x) = 2x et alors f '(x) = u'eu
    soit
    f '(x) = 2xex2
  4. f (x) = ex
    f '(x) = − ex
  5. f (x) = xex
    f '(x) = (1 + x)ex
    On a un produit f = uv avec u = x donc u' = 1 et v = ex donc v' = ex et alors f ' = u'v + uv' soit finalement, en factorisant,
    f '(x) = 1ex + xex = (1+x)ex
  6. f (x) = (x2 + 2)ex f '(x) = (x2 + 2x + 2)ex
    On a un produit f = uv avec u = x2 + 2 donc u' = 2x et v = ex donc v' = ex et alors f ' = u'v + uv' soit finalement, en factorisant,
    f '(x) = 2xex + (x2+2)ex = (x2 + 2x + 2)ex
  7. f (x) = 2ex + 1
    f '(x) = − 2ex(ex + 1)2
    On peut dériver un quotient car f s'écrit sous la forme f = 2× 1 u avec u(x) = ex + 1 donc u'(x) = ex
    On a alors f ' = 2×u'u2 soit
    f '(x) = 2×−ex(ex + 1)2
    soit aussi
    f '(x) = −2ex(ex + 1)2

  8. f (x) = 12x + 3ex
    f '(x) = 2x + 1(2x + 3)2ex
    On peut dériver un quotient car f (x) = ex2x + 3 et on a donc f = u v avec u(x) = ex donc u'(x) = ex et v(x) = 2x + 3 donc v'(x) = 2.
    On a alors f ' = u'vuv'v2 soit
    f '(x) = ex(2x + 3) − 2ex(2x + 3)2
    puis, en factorisant,
    f '(x) = ex2x + 1(2x + 3)2



    Remarque/autres calculs: On peut dériver directement le produit f = uv avec u(x) = 12x + 3 donc u = 1w d'où u' = −w'w2 soit u'(x) = −2(2x + 3)2
    et v(x) = ex donc aussi v'(x) = ex on obtient alors f '= u'v + uv' soit
    f '(x) = −2(2x + 3)2 ex + 12x + 3 ex
    que l'on s'empresse de factoriser
    f '(x) = 2(2x + 3)2 + 12x+ 3 ex
    et de mettre sur le même dénominateur
    f '(x) = 2(2x + 3)2 + 1(2x + 3)(2x + 3)2 ex = 2x + 1(2x + 3)2ex


  9. f (x) = ex + 2ex + 1
    f (x) = − ex(ex + 1)2
    On a f = u v avec u(x) = ex + 2 donc u'(x) = ex et v(x) = ex + 1 donc v'(x) = ex.
    On a alors f ' = u'vuv'v2 soit
    f '(x) = ex(ex + 1)(ex + 2)ex(ex + 1)2
    puis, en factorisant,
    f '(x) = ex(ex + 1)(ex + 2)(ex + 1)2 = ex−1(ex + 1)2



    Remarque/autres calculs: On peut aussi écrire, dès le début,
    f (x) = ex + 2ex + 1 = (ex + 1) + 1ex + 1 = ex + 1ex + 1 + 1ex + 1 = 1 + 1ex + 1
    et alors, on écrit cette fois f = 1 + 1u avec u(x) = ex + 1 donc u'(x) = ex.
    On dérive alors f ' = 0 −u'u2 soit
    f '(x) = −ex(ex + 1)2

  10. f (x) = xe−2x
    f '(x) = (1 − 2x)e−2x
  11. f(x) = (ex + 2x)2
    f '(x) = 2(ex + 2)(ex + 2x)
    On a f = u2 avec u(x) = ex + 2x donc u'(x) = ex + 2 et alors f '= 2u'u soit
    f '(x) = 2(ex + 2)(ex + 2x)
  12. f (x) = (x + 2)ex+2
    f '(x) = (x + 3)ex+2
  13. f (x) = xex2
    f '(x) = (1 + 2x2)ex2
  14. f (x) = e2xex + 1
    f '(x) = e2xex + 2(ex + 1)2
  15. f (x) = e2x + 2e3x + 3
    f '(x) = e2x −e3x + 6 − 6ex(e3x + 3)2
  16. f (x) = ex2ex + x
    f '(x) = ex2 2xex + 2x2 − ex − 1 (e3x + 3)2
  17. f (x) = xexe2x + 1
    f '(x) = ex (1 − x)e2x + 1 + x (e2x + 1)2
  18. f (x) = (ex + 3)2
    f '(x) = 2ex(ex + 3)
  19. f (x) = (e3x + 3x + 1)3
    f '(x) = 3(3e3x + 3) (e3x + 3x + 1)2
  20. f (x) = exx + 12
    f '(x) = 2xe2x(x + 1)3



Voir aussi:
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