Calculs de fonctions dérivées

Exercices corrigés et détaillés

Formules de dérivation

Pour calculer l'expression de la fonction dérivée d'une fonction donnée, il faut tout d'abord connaître les formules de dérivations.
Ces formules peuvent se présenter dans deux tableaux:

Dérivée des fonctions usuelles & Opérations sur les dérivées

Exercices corrigés: calculs de fonctions dérivées

Calculer les fonctions dérivées f '(x) dans tous les cas suivants.
Écrire la fonction dérivée sous la forme la plus "simplifiée" possible: une seule fraction au plus (même dénominateur …), et une expression la plus factorisée possible.

f (x) = x³ − 5x⁷ + 3x
f '(x) = 3x⁴ − 35x⁸ − 3x²
f(x) = x³ − 5 × x⁷ + 3 × 1x
et donc,

f '(x) = 3x² − 5 × 7x⁶ + 3 × −1x² = 3x² − 35x⁶ −3x²
puis, sur le même dénominateur:

f '(x) = 3x²×x²x² − 35x⁶×x² x² − 3x² = 3x⁴ − 35x⁸ − 3 x²
f (x) = 1 2 x⁴ − x3 + 3x
f '(x) = 4x³x − 23x + 3 2x

Attention: 3 est une constante, tandis que x ↦x est une fonction
f (x) = 12x⁴ −3 x + 3x

et donc,

f '(x) = 124x³ −3×1 + 3 1 2x = 2x³ −3 + 3 2x
puis, sur le même dénominateur,

f '(x) = 2x³×2x −3×2x + 3 2x = 4x³x −23x + 3 2x
f(x) = (3x − 2)²
f '(x) = 6(3x − 2)
On a f = u² avec u(x) = 3x − 2 donc u'(x) = 3 et alors
f ' = 2u'u
soit
f '(x) = 2×3×(3x − 2) = 6(3x − 2)

Pour s'entraîner / s'amuser, on peut aussi développer dès le début l'identité remarquable:
f (x) = 9x² − 12x + 4
puis dériver et factoriser:

f '(x) = 18x − 12 = 6(3x − 2)
f (x) = 3x + 1
f '(x) = − 3(x + 1)²
On a f (x) = 3×1x + 1
soit f = 3×1u avec u(x) = x + 1 donc u'(x) = 1
et alors f ' = 3×− u'u²
soit
f '(x) = 3×− 1(x + 1)² = − 3(x + 1)²
f (x) = x + 2x + 3
f '(x) = 1(x + 3)²
On a f = uv avec u (x) = x + 2 donc u'(x) = 1 et v (x) = x + 3 donc v'(x) = 1
et alors f ' = u'v − uv'v²
soit
f '(x) = 1×(x + 3) − (x + 2)×1(x + 3)² = 1(x + 3)²
f (x) = (x² + 3) x⁵
f '(x) = x⁴ (7x² + 15)
On peut dériver un produit uv ou plus simplement ici, d'abord développer:
f (x) = x⁷ + 3x⁵
puis en dérivant:
f '(x) = 7x⁶ + 3×5x⁴ = 7x⁶ + 15x⁴
et enfin en factorisant:
f '(x) = x⁴ (7x² + 15)

En considérant un produit f = uv avec u(x) = x² + 3 donc u'(x) = 2x et v = x⁵ donc v' = 5x⁴, on obtient alors f '= u'v + uv' soit
f '(x) = 2x × x⁵ + (x² + 3)× 5x⁴ = 2x⁶ + 5x⁶ + 15x⁴ = 7x⁶ + 15x⁴ = x⁴ (7x² + 15)
f (x) = x + 1x x
f '(x) = 2x
En développant directement on obtient
f (x) = x² + 1 et donc directement f '(x) = 2x

Pour s'entraîner / s'amuser, on peut aussi dériver un produit f = uv avec u(x) = x + 1x donc u'(x) = 1 − 1x² et v(x) = x donc v'(x) = 1 et on obtient alors f '= u'v + uv' soit
f '(x) = 1 − 1x² x + x + 1x×1 = x − 1x + x + 1x = 2x
f (x) = x + 2x² x
f '(x) = 2x³ − 1x²
En développant tout d'abord,
f (x) = x² + 2x = x² + 2×1x
et donc
f '(x) = 2x + 2 − 1x² = 2x − 2x²
d'où, sur le même dénominateur,

f '(x) = 2x×x² x² − 2x² = 2x³ − 2 x² = 2 x³ − 1 x²
f(x)= − 25x² + 3
f '(x) = 20x(x² + 3)²
f (x) = −10×1x² + 1
soit f = −10×1u avec u(x) = x² + 1 donc u'(x) = 2x
et alors f ' = −10×− u'u²
soit
f '(x) = −10×− 2x(x² + 1)² = 20x(x² + 1)²
f (x) = 5xx² + 3
f '(x) = 5 − x² + 3(x² + 3)²
f (x) = 5×xx² + 1
soit f = 5×uv avec u(x) = x donc u'(x) = 1 et v (x) = x² + 3 donc v' (x) = 2x
et alors f ' = 5×u'v − uv'v²
soit
f '(x) = 5×1(x²+3) − x(2x)(x² + 3)² = 5−x² + 3(x² + 3)²
f (x) = x² + 1x³ + 1
f '(x) = x − x³ − 3x + 2(x³ + 1)²
On a f = uv avec u(x) = x² + 1 donc u'(x) = 2x et v (x) = x³ + 1 donc v' (x) = 3x²
et alors f ' = u'v − uv'v²
soit
f '(x) = 2x(x³+1) − (x²+1)3x²(x² + 3)² = −x⁴ −3x² + 2x (x² + 3)² = x −x³ −3x + 2 (x² + 3)²
f (x) = x²x
f ' = 52xx
On a un produit f = uv avec u(x) = x² donc u'(x) = 2x et v = x donc v' = 12x, et on obtient alors f '= u'v + uv' soit
f '(x) = 2xx + x² ×12x

puis, sur le même dénominateur
f '(x) = 2xx × 2x + x²2x = 4x² + x²2x = 5x²2x
enfin, en multipliant numérateur et dénominateur par $\sqrt{x}$ , on obtient
f '(x) = 5x²x2xx = 5x²x2x = 52xx
f (x) = xx² + 3
f '(x) = − 3(x − 1)(x + 1)2x(x² + 3)²
On a f = uv avec u(x) = x donc u'(x) = 12x et v (x) = x² + 3 donc v' (x) = 2x
et alors f ' = u'v − uv'v²
soit
f '(x) = 12x(x²+3) − x(2x)(x² + 3)²
puis sur le même dénominateur (au numérateur !)
f '(x) = x²+32x − x(2x)×2x 2x (x² + 3)² = x²+3 − 4x² 2x(x² + 3)² = −3x²+3 2x(x² + 3)²
On peut finalement factoriser par −3 au numérateur, puis factoriser l'identité remarquable
f '(x) = −3 x² − 1 2x(x² + 3)² = −3 (x − 1)(x + 1) 2x(x² + 3)²
f (x) = x − 1xx + 1x
f '(x) = 4x(x² + 1)²
Sur le même dénominateur, au numérateur et dénominateur,
f (x) = x × xx − 1xx × xx + 1x = x² − 1x x² + 1x = x² − 1x × xx² + 1 = x² − 1x² + 1
On a alors f = uv avec u(x) = x² − 1 donc u'(x) = 2x et v (x) = x² + 1 donc v' (x) = 2x
et alors f ' = u'v − uv'v²
soit
f '(x) = 2x(x²+1) − (x²−1)2x (x² + 1)²
soit finalement, en développant et simplifiant le numérateur,
f '(x) = 4x (x² + 1)²
f (x) = x² + 3xx² + x3
f '(x) = 3x³ − 27x − 6x³(3x + 1)²
Sur le même dénominateur, au numérateur et dénominateur,
f (x) = x²×x x + 3 x x²×3 3 + x 3 = x³ + 3 x 3x² + x 3 = x³ + 3 x × 3 3x² + x = 3 x³ + 3 x (3x² + x)

On peut ensuite dériver le quotient f = 3 u v avec u(x) = x³ + 3 donc u'(x) = 3x² et v(x) = x (3x² + x) = 3x³ + x² donc v'(x) = 9x² + 2x.
On a alors f ' = 3u'v − uv'v² soit
f '(x) = 3 3x²(3x³ + x²) − (x³+3) (9x² + 2x) (3x³ + x²)²
d' où, en développant le numérateur,
f '(x) = 3x³ − 27x − 6x³(3x + 1)²
f (x) = x x + 1x3 + 3x
f '(x) = 13
On écrit l'expression sous la forme d'une seule fraction:

f '(x) = xx + 1x3x + 3x = xx + 1x×x3x + 3
qui se simplifie alors
f '(x) = xx + 1x×x3(x + 1) = x3
et qui se dérive finalement très facilement en
f '(x) = 13
f (x) = 1 + 1x1 − 1x
f '(x) = 1x²
On a une identité remarquable:

f (x) = 1² − 1x ² = 1 − 1x
qui se dérive alors facilement en

f '(x) = 1x²
f (x) = 13x3 + 9xx² + 2
f '(x) = − x² −6x + 2(x² + 2)²
f (x) = (x + 3)x²x
f '(x) = 12xx (7x + 15)
On a un produit f = uv avec u(x) = (x + 3)x² = x³ + 3x² donc u'(x) = 3x² + 6x = 3x(x + 2) et v = x donc v' = 12x, et on obtient alors f '= u'v + uv', soit
f '(x) = 3x(x + 2)x + (x + 3)x²12x
puis sur le même dénominateur,
f '(x) = 3x(x + 2)x2x + (x + 3)x² 2x = 3x(x + 2)2x + (x + 3)x² 2x = 6x²(x + 2) + (x + 3)x² 2x = 6x³ + 12x² + x³ + 3x² 2x = 7x³ + 15x² 2x = x² 7x + 15 2x
et enfin, en multipliant numérateur et dénominateur par x,
f '(x) = x²x 7x + 15 2xx = x²x 7x + 15 2x = xx 7x + 15 2 = 12xx (7x + 15)
f (x) = 5x1 + 2x
f '(x) = 5x(x + 6)2(x + 2)²
On a
f (x) = 5xx + 2x = 5xxx + 2 = 5xxx + 2
et alors f = uv avec u(x) = xx et v(x) = x + 2 donc v'(x) = 1.
La fonction u est un produit: u = u₂v₂ avec u₂(x) = x donc u₂'(x) = 1 et v₂(x) = x donc v₂'(x) = 12x et alors u' = u₂'v₂ + u₂v₂' soit
u'(x) = 1x + x12x = x×2x 2x + x12x = 2x 2x + x12x = 3x 2x
et enfin, mulipliant numérateur et dénominateur par x

u'(x) = 3xx 2xx = 3xx 2x = 3 2 x

On revient alors à f ':
f ' = 5u'v − uv' v²
soit
f ' = 5 3 2 x ×(x+2) − xx (x + 2)²
soit encore, finalement,
f '(x) = 5x(x + 6)2(x + 2)²

Voir aussi: