@ccueil Colles

Calculs de fonctions dérivées

Exercices corrigés et détaillés

Formules de dérivation


Pour calculer l'expression de la fonction dérivée d'une fonction donnée, il faut tout d'abord connaître les formules de dérivations.
Ces formules peuvent se présenter dans deux tableaux:

Dérivée des fonctions usuelles & Opérations sur les dérivées



Exercices corrigés: calculs de fonctions dérivées

Calculer les fonctions dérivées $f'(x)$ dans tous les cas suivants.
Écrire la fonction dérivée sous la forme la plus "simplifiée" possible: une seule fraction au plus (même dénominateur …), et une expression la plus factorisée possible.

  1. $f(x)=x^3-5x^7+\dfrac3x$

    $f'(x)=\dfrac{3x^4-35x^8-3}{x^2}$

    $f(x)=x^3-5\times x^7+3\times\dfrac1x$
    et donc,
    \[\begin{array}{lccccc}
f'(x)&=3x^2&-&5\tm7x^6&+&3\tm\dfrac{-1}{x^2}\\[1em]
&=3x^2&-&35x^6&-&\dfrac{3}{x^2}
\enar\]

    puis, sur le même dénominateur:
    \[\begin{array}{ll}
f'(x)&=\dfrac{3x^2\tm\blue x^2}{\blue x^2}-\dfrac{35x^6\tm\blue x^2}{\blue x^2}-\dfrac3{x^2}\\[1em]
&=\dfrac{3x^4-35x^8-3}{x^2}\enar\]




  2. $f'(x)=\dfrac12x^4-x\sqrt3+3\sqrt{x}$

    $f'(x)=\dfrac{4x^3\sqrt{x}-2\sqrt{3x}+3}{2\sqrt{x}}$




    $f(x)=\dfrac12\times x^4-\sqrt3 \times x +3\times \sqrt{x}$
    et donc,
    \[\begin{array}{ll}
f'(x)&=\dfrac12\times 4x^3-\sqrt{3}\times1+3\times\dfrac1{2\sqrt{x}}\\[1em]
&=2x^3-\sqrt3+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}\enar\]

    puis, sur le même dénominateur,
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{2x^3\tm\blue2\sqrt{x}}{\blue2\sqrt{x}}
-\dfrac{\sqrt3\tm\blue2\sqrt{x}}{\blue2\sqrt{x}}
+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}\\[1em]
&=\dfrac{4x^3\sqrt{x}-2\sqrt{3x}+3}{2\sqrt{x}}
\enar\]





  3. $f(x)=\left( x^2+3\right) x^5$

    $f'(x)=x^4\lp7x^2+15\rp$

    Soit en développant d'abord: $f(x)=x^7+3x^5$
    puis en dérivant: $f'(x)=7x^6+3\tm5x^4=7x^6+15x^4$
    et enfin en (re)factorisant: $f'(x)=x^4\lp7x^2+15\rp$


    On peut aussi considérer un produit $f=uv$, avec $u(x)=x^2+3$ donc $u'(x)=2x$, et $v(x)=x^5$ donc $v'(x)=5x^4$.
    On obtient donc $f'=u'v+uv'$, soit
    \[\begin{array}{ll}
f'(x)&=2x\times x^5+\left( x^2+3\rp\times5x^4 \\[.8em]
&=2x^6+5x^4\left( x^2+3\right) \\[.8em]
&=x^4\left( 2x^2+5\left( x^2+3\rp\rp\\[.8em]
&=x^4\left( 7x^2+15\right)
\enar\]





  4. $f(x)=(3x-2)^2$

    $f'(x)=6(3x-2)$

    On a $f=u^2$ avec $u(x)=3x-2$ donc $u'(x)=3$ et alors $f'=2u'u$, soit $f'(x)=2\tm3\tm\lp3x-2\rp=6\lp3x-2\rp$.

    Pour s'entraîner / s'amuser, on peut aussi développer dès le début l'identité remarquable:
    \[f(x)=9x^2-12x+4\]

    puis dériver et factoriser:
    \[f'(x)=18x-12=6\lp3x-2\rp\]





  5. $f(x)=x^2\sqrt{x}$

    $f'(x)=\dfrac52x\sqrt{x}$

    On a un produit: $f=uv$ avec $u(x)=x^2$ donc $u'(x)=2x$ et $v(x)=\sqrt{x}$ donc $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, et alors $f'=u'v+uv'$,
    soit
    \[f'(x)=2x\sqrt{x}+x^2\tm\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\]


    puis, sur le même dénominateur
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{2x\sqrt{x}\times{\blue 2\sqrt{x}}}{\blue2\sqrt{x}}
+\dfrac{x^2}{2\sqrt{x}} \\[1em]
&=\dfrac{4x\tm\sqrt{x}^2+x^2}{2\sqrt{x}} \\[1em]
&=\dfrac{4x^2+x^2}{2\sqrt{x}} \\[1em]
&=\dfrac{5x^2}{2\sqrt{x}}
\enar\]

    enfin, en multipliant numérateur et dénominateur par $\sqrt{x}$, on obtient
    \[\begin{array}{ll}f(x)&=\dfrac{5x^2\blue\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\blue^2}\\[1em]
&=\dfrac{5x^2\sqrt{x}}{2x}\\[1em]
&=\dfrac52x\sqrt{x}
\enar\]





  6. $f(x)=(x+3)x^2\sqrt{x}$

    $f'(x)=\dfrac12x\sqrt{x}\lp7x+15\rp$

    On peut écrire $f=uv$ avec $u(x)=(x+3)x^2=x^3+3x^2$ donc $u'(x)=3x^2+6x=3x\left( x+2\rp$, et $v(x)=\sqrt{x}$ donc $v'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}$, et alors $f'=u'v+uv'$,
    soit
    \[f'(x)=3x\left( x+2\rp\sqrt{x}+(x+3)x^2\tm\dfrac1{2\sqrt{x}}\]

    puis, sur le même dénominateur
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{3x\left( x+2\rp\sqrt{x}\blue\tm2\sqrt{x}}{\blue2\sqrt{x}}
+\dfrac{(x+3)x^2}{2\sqrt{x}}\\[1.4em]
&=\dfrac{6x^2\left( x+2\rp+x^2(x+3)}{2\sqrt{x}}\\[1.2em]
&=\dfrac{x^2\Bigl(\lp6x+12\rp+\lp x+3\rp\Bigr)}{2\sqrt{x}}\\[1.2em]
&=\dfrac{x^2\left( 7x+15\right)}{2\sqrt{x}}\\[1.2em]
\enar\]

    et enfin, en multipliant numérateur et dénominateur par $\sqrt{x}$,
    \[\begin{array}{ll}f'(x)
&=\dfrac{x^2\left( 7x+15\rp\blue\tm\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\blue^2}\\[1.2em]
&=\dfrac{x^2\sqrt{x}\left( 7x+15\right)}{2x}\\[1.2em]
&=\dfrac12x\sqrt{x}\lp7x+15\rp\enar\]





  7. $f(x)=\left( x+\dfrac1x\right) x$

    $f'(x)=2x$

    En développant directement,
    \[f(x)=x^2+1\]

    et donc $f'(x)=2x$.

    Pour s'entraîner / s'amuser, on peut aussi dériver un produit $f=uv$ avec $u(x)=x+\dfrac1x$ donc, $u'(x)=1-\dfrac1{x^2}$ et $v(x)=x$ donc $v'(x)=1$, et alors $f'=u'v+uv'$, soit
    \[f'(x)=\lp1-\dfrac1{x^2}\right) x+\lp x+\dfrac1x\right)\tm1\]

    ou encore, en développant
    \[f'(x)=x-\dfrac1x+x+\dfrac1x=2x\]





  8. $f(x)=\left( x+\dfrac{2}{x^2}\right) x$

    $f'(x)=\dfrac{2\left( x^3-1\right)}{x^2}$

    En développant tout d'abord, $f(x)=x^2+\dfrac{2}{x}=x^2+2\dfrac1x$ et donc $f'(x)=2x+2\dfrac{-1}{x^2}$,
    d'où, sur le même dénominateur,
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{2x\tm\blue x^2}{\blue x^2}+\dfrac{-2}{x^2}\\[1.2em]
&=\dfrac{2x^3-2}{x^2}
=\dfrac{2\left( x^3-2\right)}{x^2}\enar\]





  9. $f(x)=\dfrac{3}{x+1}$

    $f'(x)=\dfrac{-3}{(x+1)^2}$

    On a $f(x)=3\tm\dfrac{1}{x+1}$ donc $f=3\dfrac1u$ avec $u(x)=x+1$ donc $u'(x)=1$ et alors $f'=3\tm\dfrac{-u'}{u^2}$ soit
    \[f'(x)=3\tm\dfrac{-1}{(x+1)^2}=\dfrac{-3}{(x+1)^2}\]





  10. $f(x)=-2\dfrac{5}{x^2+3}$

    $f'(x)=\dfrac{20x}{\left( x^2+3\rp^2}$

    On a $f(x)=-10\tm\dfrac{1}{x^2+3}$ donc $f=-10\dfrac1u$ avec $u(x)=x^2+3$ donc $u'(x)=2x$ et alors $f'=-10\tm\dfrac{-u'}{u^2}$ soit
    \[f'(x)=-10\tm\dfrac{-2x}{\left( x^2+3\rp^2}=\dfrac{20x}{\left( x^2+3\rp^2}\]





  11. $f(x)=\dfrac{5x}{x^2+3}$

    $f'(x)=5\dfrac{-x^2+3}{\left( x^2+3\rp^2}$

    On a $f(x)=5\tm\dfrac{x}{x^2+3}$ donc $f=5\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=x^2+3$ donc $v'(x)=2x$ et alors $f'=5\tm\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
    \[f'(x)=5\tm\dfrac{1\left( x^2+3\rp-x\tm2x}{\left( x^2+3\rp^2}
=5\dfrac{-x^2+3}{\left( x^2+3\rp^2}\]





  12. $f'(x)=\dfrac{x+2}{x+3}$

    $f'(x)=\dfrac{1}{(x+3)^2}$

    On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x+2$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=x+3$ donc $v'(x)=1$ et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
    \[f'(x)=\dfrac{1\left( x+3\rp-(x+2)\tm1}{\left( x^2+3\rp^2}
=\dfrac{1}{\left( x^2+3\rp^2}\]



    Remarque: on peut aussi remarquer que
    \[\begin{array}{ll}f(x)&=\dfrac{x+2}{x+3}=\dfrac{x+3 -1}{x+3} \\[1em]
&=\dfrac{x+3}{x+3}-\dfrac{1}{x+3} \\[1em]
&=1-\dfrac{1}{x+3}\enar\]

    et ainsi, alors simplement, $f=1-\dfrac1u$ d'où $f'=-\dfrac{-u'}{u^2}$ donc $f'(x)=-\dfrac{-1}{(x+3)^2}$.




  13. $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^3+1}$

    $f'(x)=\dfrac{x\left( -x^3-3x+2\right)}{\left( x^3+1\right)^2}$


    On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^2+1$ donc $u'(x)=2x$ et $v(x)=x^3+1$ donc $v'(x)=3x^2$ et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{2x\left( x^3+1\rp-\left( x^2+1\rp\tm3x^2}{\left( x^2+3\rp^2}\\[1.2em]
&=\dfrac{x\left( -x^3-3x+2\right)}{\left( x^2+3\right)^2}\enar\]





  14. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+3}$

    $f'(x)=-3\dfrac{(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}\left( x^2+3\rp^2}$


    On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=\sqrt{x}$ donc $u'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}$ et $v(x)=x^2+3$ donc $v'(x)=2x$ et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
    \[f'(x)=\dfrac{\dfrac1{2\sqrt{x}}\left( x^2+3\rp-\sqrt{x}\tm2x}{\left( x^2+3\rp^2}\]

    puis sur le même dénominateur (au numérateur !)
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{\dfrac{x^2+3}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2x\sqrt{x}\blue\tm2\sqrt{x}}{\blue2\sqrt{x}}}{\left( x^2+3\rp^2}\\[1.6em]
&=\dfrac{\dfrac{x^2+3-4x^2}{\blue2\sqrt{x}}}{\left( x^2+3\rp^2}\\[1.2em]
&=\dfrac{-3x^2+3}{2\sqrt{x}\left( x^2+3\rp^2}
\\
\enar\]

    On peut finalement factoriser par -3 au numérateur, puis factoriser l'identité remarquable
    \[f'(x)=-3\dfrac{(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}\left( x^2+3\rp^2}\]





  15. $f(x)=\dfrac{x-\dfrac1x}{x+\dfrac1x}$

    $f'(x)=\dfrac{4x}{\left( x^2+1\rp^2}$

    Sur le même dénominateur, au numérateur et dénominateur,
    \[\begin{array}{ll}f(x)&=\dfrac{\dfrac{x\blue\times x}{\blue x}-\dfrac1x}{\dfrac{x\blue\times x}{\blue x}+\dfrac1x}\\[2.2em]
&=\dfrac{\dfrac{x^2-1}{x}}{\dfrac{x^2+1}{x}}\\[2.2em]
&=\dfrac{x^2-1}{x}\tm\dfrac{x}{x^2+1}\\[.8em]
&=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\enar\]


    On peut ensuite dériver le quotient $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^2-1$ donc $u'(x)=2x$ et $v(x)=x^2+1$ donc $v'(x)=2x$, et donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
    \[f'(x)=\dfrac{2x\left( x^2+1\rp-\left( x^2-1\rp2x}{\left( x^2+1\rp^2}
=\dfrac{4x}{\left( x^2+1\rp^2}\]





  16. $f(x)=\dfrac{x^2+\dfrac3x}{x^2+\dfrac{x}{3}}$

    $f'(x)=3\dfrac{x^3-27x-6}{x\left( 3x^2+x\rp^2}$


    Sur le même dénominateur, au numérateur et dénominateur,
    \[\begin{array}{ll}f(x)&=\dfrac{\dfrac{x^2\blue\times x}{\blue x}+\dfrac3x}{\dfrac{x^2\blue\times 3}{\blue 3}+\dfrac{x}{3}}\\[2.2em]
&=\dfrac{\dfrac{x^3+3}{x}}{\dfrac{3x^2+x}{3}}\\[2.2em]
&=\dfrac{x^3+3}{x}\tm\dfrac{3}{3x^2+x}\\[.8em]
&=3\dfrac{x^3+3}{x\lp3x^2+x\right)}\enar\]


    On peut ensuite dériver le quotient $f=3\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^3+3$ donc $u'(x)=3x^2$ et $v(x)=x\left( 3x^2+x\rp=3x^3+x^2$ donc $v'(x)=9x^2+2x$, et donc $f'=3\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
    soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=3\dfrac{3x^2\left( 3x^3+x^2\rp-\left( x^3+3\rp\left(9x^2+2x\rp}{\Bigl( x\left( 3x^2+x\rp\Bigr)^2}\\[1.6em]
&=3\dfrac{x^4-27x^2-6x}{x^2\left( 3x^2+x\rp^2}\\[1.2em]
&=3\dfrac{x\left( x^3-27x-6\right)}{x^2\left( 3x^2+x\right)^2}\\[1.2em]
&=3\dfrac{x^3-27x-6}{x\left( 3x^2+x\rp^2}\\[1.2em]
\enar\]





  17. $f(x)=\dfrac{5\sqrt{x}}{1+\dfrac{2}{x}}$

    $f'(x)=\dfrac{5\sqrt{x}(x+6)}{2\left( x+2\rp^2}$


    On a
    \[f(x)=5\dfrac{\sqrt{x}}{\dfrac{x+2}{x}}
=5\sqrt{x}\dfrac{x}{x+2}
=5\dfrac{x\sqrt{x}}{x+2}\]

    et alors $f=5\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x\sqrt{x}$ et $v(x)=x+2$.
    La fonction $u$ est un produit: $u=u_2v_2$ avec $u_2(x)=x$ donc $u_2'(x)=1$ et $v_2(x)=\sqrt{x}$ donc $v_2'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}$ et alors $u'=u_2'v_2+u_2v_2'$, soit

    \[\begin{array}{ll}u'(x)&=1\sqrt{x}+x\dfrac1{2\sqrt{x}}\\
&=\dfrac{2\sqrt{x}^2}{2\sqrt{x}}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}}\\[1em]
&=\dfrac{3x}{2\sqrt{x}}
\enar\]

    et, mulipliant numérateur et dénominateur par $\sqrt{x}$:
    \[u'(x)=\dfrac{3x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}^2}=\dfrac{3x\sqrt{x}}{2x}
=\dfrac32\sqrt{x}\]


    On revient alors à $f'=5\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=5\dfrac{\dfrac32\sqrt{x}(x+2)-x\sqrt{x}}{(x+2)^2}\\[2em]
&=5\dfrac{\dfrac{3\sqrt{x}(x+2)-2x\sqrt{x}}{2}}{(x+2)^2}\\[1.6em]
&=5\dfrac{\sqrt{x}(x+6)}{2(x+2)^2}
\enar\]





  18. $f(x)=x\,\dfrac{1+\dfrac1x}{3+\dfrac3x}$

    $f'(x)=\dfrac13$

    On écrit l'expression sous la forme d'une seule fraction:
    \[\begin{array}{ll}f(x)&=x\,\dfrac{\dfrac{x+1}{x}}{\dfrac{3x+3}{x}}\\[2.2em]
&=x\,\dfrac{x+1}{x}\tm\dfrac{x}{3x+3}\\[1em]
&=x\,\dfrac{x+1}{x}\tm\dfrac{x}{3(x+1)}\\[1em]
&=\dfrac13x
\enar\]

    qui se dérive alors très facilement en $f'(x)=\dfrac13$




  19. $f(x)=\lp1+\dfrac1{\sqrt{x}}\rp\,\lp1-\dfrac1{\sqrt{x}}\rp$

    $f'(x)=\dfrac{1}{x^2}$

    On a une identité remarquable:
    \[f(x)=1^2-\lp\dfrac1{\sqrt{x}}\rp^2=1-\dfrac1x\]

    qui se dérive alors facilement en
    \[f'(x)=\dfrac1{x^2}\]





  20. $f(x)=\dfrac13x\dfrac{3+\dfrac9x}{x^2+2}$

    $f'(x)=\dfrac{-x^2-6x+2}{\left( x^2+2\rp^2}$




Voir aussi: