Dérivées et sens de variation d'une fonction

Exercices corrigés et détaillés

Formules de dérivation

Dérivée des fonctions usuelles & Opérations sur les dérivées

Exercices corrigés: dérivées et sens de variation d'une fonction

Donner le tableau des variations des fonctions suivantes.
Indications: calculer la fonction dérivée . Ensuite, le signe de cette fonction donne le sens de variation de de la fonction .

et donc est strictement croissante sur $\R$ :

$\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline $x$&$-\infty$&\hspace*{1cm}&$+\infty$\\\hline $f'(x)$ && $+$ & \\\hline &&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&\\\hline \end{tabular}$

Remarque: On peut bien sûr aussi ici simplement remarquer que est une fonction affine de coefficient directeur 3, donc strictement croissante…
et on a alors

$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-3$&&$+\infty$\\\hline $f'(x)$ && $-$&$\zb$& $+$ & \\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&18&&\\\hline \end{tabular}$
et donc

$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-1$&&$+\infty$\\\hline $f'(x)$ && $+$&$\zb$& $-$ & \\\hline &&&3&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}$
qui est du second degré avec $3x^2-3=0\iff x^2=1$ soit ou
(on peut aussi calculer le discriminant …)

On a alors:

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-1$&&$1$&&$+\infty$\\\hline $f'(x)=3x^2-3$ && $+$&$\zb$& $-$ &$\zb$&$+$& \\\hline &&&$-2$&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&$-6$&&\\\hline \end{tabular}$
$f(x)=\dfrac{3}{x+1}$

On calcule la dérivée: $f(x)=3\tm\dfrac{1}{x+1}$ donc $f=3\tm\dfrac1u$ avec donc et alors $f'=3\tm\dfrac{-u'}{u^2}$ soit

$f'(x)=3\tm\dfrac{-1}{(x+1)^2}=\dfrac{-3}{(x+1)^2}$

Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul, et donc, en faisant attention à cette valeur interdite:

$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-1$&&$+\infty$\\\hline $-3$ && $-$&$|$& $-$ & \\\hline $(x+1)^2$ && $+$&$\zb$& $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $-$&& $-$ & \\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.7)(0,1.45)\,\psline(0,-.7)(0,1.45)&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}$
$f(x)=\dfrac{-10}{x^2+3}$

On a $f(x)=-10\tm\dfrac{1}{x^2+3}$ donc $f=-10\tm\dfrac1u$ avec donc et alors $f'=-10\tm\dfrac{-u'}{u^2}$ soit

$f'(x)=-10\tm\dfrac{-2x}{\left( x^2+3\rp^2}=\dfrac{20x}{\left( x^2+3\rp^2}$

Remarque: on peut bien sûr dériver $\dfrac{u}{v}$ , avec et .

Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul. Il n'est de plus jamais nul car pour tout réel, $x^2+3\geqslant3>0$ et donc en particulier $x^2+3\not=0$
(on peut aussi calculer le discriminant du trinôme du second degré qui vaut $\Delta=-12<0$ …)

On a donc

$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$0$&&$+\infty$\\\hline $20x$ && $-$&$\zb$& $+$ & \\\hline $\left( x^2+3\rp^2$ && $+$&$|$& $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $-$&$\zb$& $+$ & \\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-\dfrac{10}3$&&\\\hline \end{tabular}$
On a avec donc et alors , soit $f'(x)=2\tm3\tm\lp3x-2\rp=6\lp3x-2\rp$ .

Remarque: on peut aussi développer l'identité remarquable: puis dériver)

On a donc

$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline \rule[-1em]{0em}{3em}$x$&$-\infty$&&$\dfrac23$&&$+\infty$\\\hline $3x-2$ && $-$&$\zb$& $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $-$&$\zb$& $+$ & \\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&0&&\\\hline \end{tabular}$
$f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}$

On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec donc et donc et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit

$f'(x)=\dfrac{1\left( x+3\rp-(x+2)\tm1}{\left( x+3\rp^2} =\dfrac{1}{\left( x+3\rp^2}$

Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul, et donc, en faisant attention à cette valeur interdite:

$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-3$&&$+\infty$\\\hline $(x+3)^2$ && $+$&$\zb$& $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $+$&& $+$ & \\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&\psline(0,-.7)(0,1.45)\,\psline(0,-.7)(0,1.45)&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}$
$f(x)=\dfrac{5x}{x^2+3}$

On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec donc et donc et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit

$\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{5\left( x^2+3\rp-5x\tm2x}{\left( x^2+3\rp^2}\\[1.4em] &=\dfrac{-5x^2+15}{\left( x^2+3\rp^2}\enar$

Le numérateur est un trinôme du second degré dont on trouve les racines: $-5x^2+15=0 \iff x^2=3$ donc $x=-\sqrt3$ ou $x=\sqrt3$
(ou en calculant le discriminant … )

Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul. Il n'est de plus jamais nul car pour tout réel, $x^2+3\geqslant3>0$ et donc en particulier $x^2+3\not=0$
(on peut aussi calculer le discriminant du trinôme du second degré qui vaut $\Delta=-12<0$ …)

On a alors

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-\sqrt3$&&$\sqrt3$&&$+\infty$\\\hline $-5x^2+15$ && $-$&$\zb$& $+$ &$\zb$&$-$& \\\hline $\left( x^2+3\rp^2$ && $+$&$|$& $+$ &$|$&$+$& \\\hline $f'(x)$&& $-$&$\zb$& $+$ &$\zb$&$-$& \\\hline &&&&&$\dfrac{5\sqrt3}{6}$&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&$-\dfrac{5\sqrt3}{6}$&&&&\\\hline \end{tabular}$
$f(x)=4x+\dfrac1x$

Voir aussi: