@ccueil Colles

Dérivées et sens de variation d'une fonction

Exercices corrigés et détaillés

Formules de dérivation


Dérivée des fonctions usuelles & Opérations sur les dérivées



Exercices corrigés: dérivées et sens de variation d'une fonction

Donner le tableau des variations des fonctions suivantes.
Indications: calculer la fonction dérivée $f'(x)$. Ensuite, le signe de cette fonction donne le sens de variation de de la fonction $f$.


  1. $f(x)=3x-2$

    $f'(x)=3>0$ et donc $f$ est strictement croissante sur $\R$:
    \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$&$-\infty$&\hspace*{1cm}&$+\infty$\\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \\\hline
&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&\\\hline
\end{tabular}\]




    Remarque: On peut bien sûr aussi ici simplement remarquer que $f$ est une fonction affine de coefficient directeur 3, donc strictement croissante…



  2. $f(x)=3x^2+2x-3$

    $f'(x)=6x+2$ et on a alors
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-3$&&$+\infty$\\\hline
$f'(x)$ && $-$&$\zb$& $+$ & \\\hline
&&&&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&18&&\\\hline
\end{tabular}\]





  3. $f(x)=-2x^2-4x+1$

    $f'(x)=-4x-4$ et donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-1$&&$+\infty$\\\hline
$f'(x)$ && $+$&$\zb$& $-$ & \\\hline
&&&3&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]





  4. $f(x)=x^3-3x-4$

    $f'(x)=3x^2-3$ qui est du second degré avec   $3x^2-3=0\iff x^2=1$ soit   $x=-1$ ou $x=1$
    (on peut aussi calculer le discriminant …)

    On a alors:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-1$&&$1$&&$+\infty$\\\hline
$f'(x)=3x^2-3$ && $+$&$\zb$& $-$ &$\zb$&$+$& \\\hline
&&&$-2$&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&$-6$&&\\\hline
\end{tabular}\]





  5. $f(x)=\dfrac{3}{x+1}$

    On calcule la dérivée: $f(x)=3\tm\dfrac{1}{x+1}$ donc $f=3\tm\dfrac1u$ avec $u(x)=x+1$ donc $u'(x)=1$ et alors $f'=3\tm\dfrac{-u'}{u^2}$ soit
    \[f'(x)=3\tm\dfrac{-1}{(x+1)^2}=\dfrac{-3}{(x+1)^2}\]

    Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul, et donc, en faisant attention à cette valeur interdite:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-1$&&$+\infty$\\\hline
$-3$ && $-$&$|$& $-$ & \\\hline
$(x+1)^2$ && $+$&$\zb$& $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $-$&& $-$ & \\\hline
&&&&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.7)(0,1.45)\,\psline(0,-.7)(0,1.45)&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]





  6. $f(x)=\dfrac{-10}{x^2+3}$

    On a $f(x)=-10\tm\dfrac{1}{x^2+3}$ donc $f=-10\tm\dfrac1u$ avec $u(x)=x^2+3$ donc $u'(x)=2x$ et alors $f'=-10\tm\dfrac{-u'}{u^2}$ soit
    \[f'(x)=-10\tm\dfrac{-2x}{\left( x^2+3\rp^2}=\dfrac{20x}{\left( x^2+3\rp^2}\]



    Remarque: on peut bien sûr dériver $\dfrac{u}{v}$, avec $u(x)=-10$ et $v(x)=x^2+3$.

    Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul. Il n'est de plus jamais nul car pour tout $x$ réel, $x^2+3\geqslant3>0$ et donc en particulier $x^2+3\not=0$
    (on peut aussi calculer le discriminant du trinôme du second degré $x^2+3$ qui vaut $\Delta=-12<0$ …)

    On a donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$&$-\infty$&&$0$&&$+\infty$\\\hline
$20x$ && $-$&$\zb$& $+$ & \\\hline
$\left( x^2+3\rp^2$ && $+$&$|$& $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $-$&$\zb$& $+$ & \\\hline
&&&&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&$-\dfrac{10}3$&&\\\hline
\end{tabular}\]





  7. $f(x)=(3x-2)^2$

    On a $f=u^2$ avec $u(x)=3x-2$ donc $u'(x)=3$ et alors $f'=2u'u$, soit $f'(x)=2\tm3\tm\lp3x-2\rp=6\lp3x-2\rp$.

    Remarque: on peut aussi développer l'identité remarquable: $f(x)=9x^2-12x+4$ puis dériver)

    On a donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
\rule[-1em]{0em}{3em}$x$&$-\infty$&&$\dfrac23$&&$+\infty$\\\hline
$3x-2$ && $-$&$\zb$& $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $-$&$\zb$& $+$ & \\\hline
&&&&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&0&&\\\hline
\end{tabular}\]





  8. $f(x)=\dfrac{x+2}{x+3}$

    On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x+2$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=x+3$ donc $v'(x)=1$ et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
    \[f'(x)=\dfrac{1\left( x+3\rp-(x+2)\tm1}{\left( x+3\rp^2}
=\dfrac{1}{\left( x+3\rp^2}\]


    Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul, et donc, en faisant attention à cette valeur interdite:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-3$&&$+\infty$\\\hline
$(x+3)^2$ && $+$&$\zb$& $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$&& $+$ & \\\hline
&&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&\psline(0,-.7)(0,1.45)\,\psline(0,-.7)(0,1.45)&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]





  9. $f(x)=\dfrac{5x}{x^2+3}$

    On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=5x$ donc $u'(x)=5$ et $v(x)=x^2+3$ donc $v'(x)=2x$ et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{5\left( x^2+3\rp-5x\tm2x}{\left( x^2+3\rp^2}\\[1.4em]
&=\dfrac{-5x^2+15}{\left( x^2+3\rp^2}\enar\]



    Le numérateur est un trinôme du second degré dont on trouve les racines: $-5x^2+15=0 \iff x^2=3$ donc $x=-\sqrt3$ ou $x=\sqrt3$
    (ou en calculant le discriminant … )

    Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul. Il n'est de plus jamais nul car pour tout $x$ réel, $x^2+3\geqslant3>0$ et donc en particulier $x^2+3\not=0$
    (on peut aussi calculer le discriminant du trinôme du second degré $x^2+3$ qui vaut $\Delta=-12<0$ …)

    On a alors
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-\sqrt3$&&$\sqrt3$&&$+\infty$\\\hline
$-5x^2+15$ && $-$&$\zb$& $+$ &$\zb$&$-$& \\\hline
$\left( x^2+3\rp^2$ && $+$&$|$& $+$ &$|$&$+$& \\\hline
$f'(x)$&& $-$&$\zb$& $+$ &$\zb$&$-$& \\\hline
&&&&&$\dfrac{5\sqrt3}{6}$&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&$-\dfrac{5\sqrt3}{6}$&&&&\\\hline
\end{tabular}\]





  10. $f(x)=4x+\dfrac1x$




Voir aussi: