Oral du Bac - Suite d'intégrales
Suite définie par des intégrales - Etude du sens de variation, encadrements et convergence
On considère la suite



- Calculer l'intégrale
.
- Calculer
.
- Déterminer le sens de variation de la suite
.
- Montrer que pour tout réel
,
.
- En déduire un encadrement de
puis la limite de la suite
.
Solution:
-
est une primitive de
, et ainsi
-
, avec
. On reconnaît une expression à intégrer de la forme
avec
.
Ainsi,est une primitive de
, et on a donc,
- Pour tout entier
, on a, par linéarité de l'intégrale,
Or, pour tout,
, et
, car la fonction exponentielle est croissante, d'où
, et
.
Ainsi, pour tout,
, et donc, par positivité de l'intégrale,
ce qui montre que la suiteest croissante.
- La fonction exponentielle étant croissante sur
, on a
car.
Ainsi, en prenant l'inverse (et en inversant donc l'ordre), on a bien, pour tout,
.
- Comme l'intégrale conserve l'ordre, on déduit de l'encadrement
précédent que
soit donc, et, grçace à la première question:
Comme, par croissances comparées,, on a donc
, et ainsi, d'après le corollaire du théorème des gendarmes,
.
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