Oral du Bac - Suite d'intégrales

Suite définie par des intégrales - Etude du sens de variation, encadrements et convergence


On considère la suite $(I_n) définie pour tout entier naturel $n par l'expression
I_n=\int_0^1\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}dx

  1. Calculer l'intégrale $\displaystyle J_n=\int_0^1 e^{nx}dx.
  2. Calculer $I_1.
  3. Déterminer le sens de variation de la suite $(I_n).
  4. Montrer que pour tout réel $x\in[0;1], $\dfrac14\leqslant\dfrac{1}{1+e^x}\leqslant\dfrac{1}{2}.
  5. En déduire un encadrement de $I_n puis la limite de la suite $(I_n).

Solution:


  1. $F(x)=\dfrac1n e^{nx} est une primitive de $f(x)=e^{nx}, et ainsi
    J_n=\int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=\dfrac1n e^n-\dfrac1n e^0=\dfrac1n\left( e^n-1\rp

  2. $\displaystyle I_1=\int_0^1 g(x)dx, avec $g(x)=\dfrac{e^x}{1+e^{x}}. On reconnaît une expression à intégrer de la forme $\dfrac{u'}{u} avec $u(x)=1+e^x.
    Ainsi, $G(x)=\ln\lp1+e^x\rp est une primitive de $g, et on a donc,
    I_1=G(1)-G(0)=\ln\lp1+e\rp-\ln(2)=\ln\lp\dfrac{1+e}{2}\rp


  3. Pour tout entier $n, on a, par linéarité de l'intégrale,
    \begin{array}{ll}
  I_{n+1}-I_n
  &\dsp=\int_0^1\dfrac{e^{(n+1)x}}{1+e^x}dx-\int_0^1\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}dx\\[.5cm]
  &\dsp=\int_0^1\lp\dfrac{e^{(n+1)x}}{1+e^x}-\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}\right) dx\\[.5cm]
  &\dsp=\int_0^1\dfrac{e^{(n+1)x}-e^{nx}}{1+e^x}dx\\[.5cm]
  &\dsp=\int_0^1\dfrac{e^{nx}\left( e^x-1\rp}{1+e^x}dx\\[.5cm]
  \enar

    Or, pour tout $x\in[0;1], $e^{nx}>0, et $e^x\geqslant e^0=1, car la fonction exponentielle est croissante, d'où $e^x-1\geqslant 0, et $e^x+1\geqslant 2>0.
    Ainsi, pour tout $x\in[0;1], $\dfrac{e^{nx}\left( e^x-1\rp}{1+e^x}\geqslant0, et donc, par positivité de l'intégrale,
    I_{n+1}-I_n=\dfrac{e^{nx}\left( e^x-1\rp}{1+e^x}dx\geqslant0

    ce qui montre que la suite $(I_n) est croissante.
  4. La fonction exponentielle étant croissante sur $\R, on a
    x\in[0;1]\iff 0\leqslant x\leqslant 1 \iff e^0=1\leqslant
  e^x\leqslant e^1=e\iff 2\leqslant 1+e^x\leqslant 1+e\leqslant 4

    car $e\simeq 2,7<3.
    Ainsi, en prenant l'inverse (et en inversant donc l'ordre), on a bien, pour tout $x\in[0;1], $\dfrac14\leqslant\dfrac{1}{1+e^x}\leqslant\dfrac{1}{2}.
  5. Comme l'intégrale conserve l'ordre, on déduit de l'encadrement précédent que
    \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{4}dx\leqslant \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{1+x}dx\leqslant \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{2}dx

    soit donc $\dfrac14 J_n \leqslant I_n\leqslant \dfrac12 J_n, et, grçace à la première question:
    \dfrac{1}{4n}\left( e^n-1\rp\leqslant I_n\leqslant \dfrac{12}{2n}\left( e^n-1\rp


    Comme, par croissances comparées, $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{e^n}{n}=+\infty, on a donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{4n}\left( e^n-1\rp=+\infty, et ainsi, d'après le corollaire du théorème des gendarmes, $\dsp\lim_{n\to+\infty}I_n=+\infty.


Autres ressources