Oral du Bac - Suite d'intégrales

Suite définie par des intégrales - Etude du sens de variation, encadrements et convergence

On considère la suite

définie pour tout entier naturel

par l'expression

$I_n=\int_0^1\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}dx$

Calculer l'intégrale $$\displaystyle J_n=\int_0^1 e^{nx}dx$ .
Calculer .
Déterminer le sens de variation de la suite .
Montrer que pour tout réel $$x\in[0;1]$ , $$\dfrac14\leqslant\dfrac{1}{1+e^x}\leqslant\dfrac{1}{2}$ .
En déduire un encadrement de puis la limite de la suite .

Solution:

$$F(x)=\dfrac1n e^{nx}$ est une primitive de $$f(x)=e^{nx}$ , et ainsi

$J_n=\int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=\dfrac1n e^n-\dfrac1n e^0=\dfrac1n\left( e^n-1\rp$
$$\displaystyle I_1=\int_0^1 g(x)dx$ , avec $$g(x)=\dfrac{e^x}{1+e^{x}}$ . On reconnaît une expression à intégrer de la forme $$\dfrac{u'}{u}$ avec .
Ainsi, $$G(x)=\ln\lp1+e^x\rp$ est une primitive de , et on a donc,

$I_1=G(1)-G(0)=\ln\lp1+e\rp-\ln(2)=\ln\lp\dfrac{1+e}{2}\rp$
Pour tout entier , on a, par linéarité de l'intégrale,

$\begin{array}{ll} I_{n+1}-I_n &\dsp=\int_0^1\dfrac{e^{(n+1)x}}{1+e^x}dx-\int_0^1\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}dx\\[.5cm] &\dsp=\int_0^1\lp\dfrac{e^{(n+1)x}}{1+e^x}-\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}\right) dx\\[.5cm] &\dsp=\int_0^1\dfrac{e^{(n+1)x}-e^{nx}}{1+e^x}dx\\[.5cm] &\dsp=\int_0^1\dfrac{e^{nx}\left( e^x-1\rp}{1+e^x}dx\\[.5cm] \enar$

Or, pour tout $$x\in[0;1]$ , $$e^{nx}>0$ , et $$e^x\geqslant e^0=1$ , car la fonction exponentielle est croissante, d'où $$e^x-1\geqslant 0$ , et $$e^x+1\geqslant 2>0$ .
Ainsi, pour tout $$x\in[0;1]$ , $$\dfrac{e^{nx}\left( e^x-1\rp}{1+e^x}\geqslant0$ , et donc, par positivité de l'intégrale,

$I_{n+1}-I_n=\dfrac{e^{nx}\left( e^x-1\rp}{1+e^x}dx\geqslant0$

ce qui montre que la suite est croissante.
La fonction exponentielle étant croissante sur $$\R$ , on a

$x\in[0;1]\iff 0\leqslant x\leqslant 1 \iff e^0=1\leqslant e^x\leqslant e^1=e\iff 2\leqslant 1+e^x\leqslant 1+e\leqslant 4$

car $$e\simeq 2,7<3$ .
Ainsi, en prenant l'inverse (et en inversant donc l'ordre), on a bien, pour tout $$x\in[0;1]$ , $$\dfrac14\leqslant\dfrac{1}{1+e^x}\leqslant\dfrac{1}{2}$ .
Comme l'intégrale conserve l'ordre, on déduit de l'encadrement précédent que

$\int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{4}dx\leqslant \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{1+x}dx\leqslant \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{2}dx$

soit donc $$\dfrac14 J_n \leqslant I_n\leqslant \dfrac12 J_n$ , et, grçace à la première question:

$\dfrac{1}{4n}\left( e^n-1\rp\leqslant I_n\leqslant \dfrac{12}{2n}\left( e^n-1\rp$

Comme, par croissances comparées, $$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{e^n}{n}=+\infty$ , on a donc $$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{4n}\left( e^n-1\rp=+\infty$ , et ainsi, d'après le corollaire du théorème des gendarmes, $$\dsp\lim_{n\to+\infty}I_n=+\infty$ .

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