Oral du Bac - Suite récurrente

Etude d'une suite: construction graphique, conjecture et démonstration par récurrence


On considère la suite $(u_n) définie par $u_0=2 et, pour tout entier $n, $u_{n+1}=\sqrt{10u_n}.
On note $f la fonction définie par l'expression $f:x\mapsto \sqrt{10x}.
  1. Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction $f et construire sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_1, $u_2, … de la suite $(u_n).
    Quelles conjectures peut-on faire ?
  2. Démontrer que la suite $(u_n) est croissante, positive et majorée par 10.
  3. En déduire que $(u_n) converge vers une limite $\ell.
    Déterminer cette limite $\ell.

Solution:



  1. \psset{unit=0.8cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,12)
\psline{->}(-.5,0)(12,0)
\psline{->}(0,-.5)(0,12)
\newcommand{\f}[1]{10 #1 mul 0.5 exp}
\psplot{0}{10}{\f{x}}
\psplot[linewidth=1.4pt]{0}{12}{\f{x}}
\rput(11.6,10.3){$\mathcal{C}_f$}
\psplot{-0.2}{12}{x}\rput(11.5,12){$y=x$}
\newcommand\fn[2]{%
  \ifnum#1=1
  \f{#2}%
  \else
  \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
  \fi
}
\def\xinit{2}
\def\nmax{4}
\psline[linestyle=dashed](\xinit,0)(!\xinit\space\f{\xinit})(!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
\rput(\xinit,-0.3){$u_0=2$}
\multido{\i=1+1}{\nmax}{
  \psline[linestyle=dashed](!\fn{\i}{\xinit} \space 0)(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
 \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
 \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$}
}
\def\ninf{20}
\psline[linecolor=blue](!\fn{\ninf}{\xinit}\space 0)(!\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})(!0\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})
\rput(!\fn{\ninf}{\xinit}\space -0.3){\blue$\ell$}
\rput(!-.3\space\fn{\ninf}{\xinit}){\blue$\ell$}
\end{pspicture}

    On peut conjecturer que la suite $(u_n) est strictement croissante, minorée par $2, majorée par $10, et convergente vers une limite $l.
  2. La suite $(u_n) est définie par récurrence selon $u_{n+1}=f\left( u_n\rp.
    La fonction $f est strictement croissante sur $\R_+, car $f'(x)=\dfrac{\sqrt{10}}{2\sqrt{x}}>0.
     
    Démontrons alors, par récurrence, que la suite $(u_n) est croissante, positive et majorée par 10, c'est-à-dire que pour tout entier $n, $0<u_n<u_{n+1}<10.
    Initialisation: On a $0<u_0=2<10 et $u_1=\sqrt{10u_0}=\sqrt{20}, donc $0<u_0<u_1<10 et la propriété est donc vraie initialement pour $n=0.
    Hérédite: Supposons maintenant que la propriété $0<u_n<u_{n+1}<10 soit vraie pour un certain entier $n.
    Alors, comme comme $f est strictement croissante sur $\R_+, on a $f(0)<f\left( u_n\rp<f\left( u_{n+1}\rp<f(10).
    Or, $f(0)=0, $f\left( u_n\rp=u_{n+1}, $f\left( u_{n+1}\rp=u_{n+2}, et $f(10)=\sqrt{10\tm10}=10.
    Ainsi, on a bien $0<u_{n+1}<u_{n+2}<10, ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang $n+1.
    Conclusion: On vbient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n, $0<u_n<u_{n+1}<10, c'est-à-dire que la suite $(u_n) est strictement croissante et bornée par 0 et 10.
  3. $(u_n) étant croissante et majorée, on en déduit qu'elle converge vers une limite $\ell qui vérifie $\ell=\sqrt{10\ell}, soit $\ell=0 ou $\ell=10.
    Comme $u_0=2 et que $(u_n) est croissante, la suite ne peut pas converger vers 0.
    Sa limite est donc $\ell=10.


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