Oral du Bac - Suite récurrente

Etude d'une suite: construction graphique, conjectures et démonstration à l'aide d'une suite auxiliaire géométrique


On considère la suite $(u_n) définie par $u_0=2 et, pour tout entier $n, $u_{n+1}=\sqrt{10u_n}.
On note $f la fonction définie par l'expression $f:x\mapsto \sqrt{10x}.
  1. Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction $f et construire sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_1, $u_2, … de la suite $(u_n).
    Quelles conjectures peut-on faire ?
  2. On pose $v_n=\ln\left( u_n\right) -\ln(10). Montrer que $(v_n) est une suite géométrique.
    En déduire les expressions de $v_n, puis de $u_n en fonction de $n.
  3. En déduire que la limite de la suite $(u_n).

Solution:



  1. \psset{unit=0.8cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,12)
\psline{->}(-.5,0)(12,0)
\psline{->}(0,-.5)(0,12)
\newcommand{\f}[1]{10 #1 mul 0.5 exp}
\psplot{0}{10}{\f{x}}
\psplot[linewidth=1.4pt]{0}{12}{\f{x}}
\rput(11.6,10.3){$\mathcal{C}_f$}
\psplot{-0.2}{12}{x}\rput(11.5,12){$y=x$}
\newcommand\fn[2]{%
  \ifnum#1=1
  \f{#2}%
  \else
  \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
  \fi
}
\def\xinit{2}
\def\nmax{4}
\psline[linestyle=dashed](\xinit,0)(!\xinit\space\f{\xinit})(!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
\rput(\xinit,-0.3){$u_0=2$}
\multido{\i=1+1}{\nmax}{
  \psline[linestyle=dashed](!\fn{\i}{\xinit} \space 0)(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
 \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
 \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$}
}
\def\ninf{20}
\psline[linecolor=blue](!\fn{\ninf}{\xinit}\space 0)(!\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})(!0\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})
\rput(!\fn{\ninf}{\xinit}\space -0.3){\blue$\ell$}
\rput(!-.3\space\fn{\ninf}{\xinit}){\blue$\ell$}
\end{pspicture}

    On peut conjecturer que la suite $(u_n) est strictement croissante, minorée par $2, majorée par $10, et convergente vers une limite $l.

  2. \begin{array}{ll} 
  v_{n+1}&=\ln\left( u_{n+1}\rp-\ln(10)\\[0.4cm]
  &=\ln\left( \sqrt{10u_n}\rp-\ln(10)\\[0.4cm]
  &=\dfrac12\ln(10u_n)-\ln(10)\\[0.4cm]
  &=\dfrac12\Bigl(\ln(10)+\ln\left( u_n\rp\Bigr)-\ln(10)\\[0.4cm]
  &=\dfrac12\ln\left( u_n\rp-\dfrac12\ln(10)  \\[0.4cm]
  &=\dfrac12\lp\ln\lp u_n\rp-\ln(10)\rp=\dfrac12 v_n
  \enar

    Ainsi, la $\left( v_n\rp est géométrique de raison $\dfrac12.
    On en déduit que, pour tout entier $n, $v_n=\lp\dfrac12\rp^n v_0=\dfrac{1}{2^n}\lp \ln(2)-\ln(10)\rp
  =-\dfrac{\ln(5)}{2^n}, et donc, que $v_n=\ln\left( u_n\rp-\ln(10)=\ln\left(\dfrac{u_n}{10}\rp
  \iff u_n=10e^{v_n}.
  3. Comme $\left( v_n\rp est une suite géométrique de raison $-1<q=\dfrac12<1, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=0, et alors, par composition des limites, $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}10e^{v_n}=10.


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