Oral du Bac - Suite récurrente

Etude d'une suite: construction graphique, conjectures et démonstration à l'aide d'une suite auxiliaire géométrique

Oral du Bac: Suite récurrente, construction graphique des premiers termes, utilisation d'une suite auxiliaire géoémtrique, et calcul de la limite de la suite


On considère la suite $(u_n) définie par $u_0=2 et, pour tout entier $n, $u_{n+1}=\sqrt{10u_n}.
On note $f la fonction définie par l'expression $f:x\mapsto \sqrt{10x}.
  1. Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction $f et construire sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_1, $u_2, … de la suite $(u_n).
    Quelles conjectures peut-on faire ?
  2. On pose $v_n=\ln\left( u_n\right) -\ln(10). Montrer que $(v_n) est une suite géométrique.
    En déduire les expressions de $v_n, puis de $u_n en fonction de $n.
  3. En déduire que la limite de la suite $(u_n).

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