Oral du Bac - Suite récurrente arithmético-géométrique

Etude d'une suite: construction graphique, conjectures et démonstration à l'aide d'une suite auxiliaire géométrique


Soit $\left( u_n\rp la suite définie par $u_0=2 et $u_{n+1}=\dfrac13u_n+5.
  1. Calculer $u_1 et $u_2.
  2. Tracer les droites d'équations $y=\dfrac13x+5 et $y=x. Construire sur ce graphique les premières termes $u_1, $u_2, $u_3,… de la suite.
    Quelles conjectures peut-on faire ?
  3. Soit $v_n la suite définie par $v_n=u_n+h. Déterminer le réel $h pour que la suite $(v_n) soit géométrique de raison $\dfrac13.
  4. Exprimer alors $v_n, puis $u_n, en fonction de $n. En déduire la limite de $\left( u_n\rp.

Solution:


  1. $u_1=\dfrac13u_0+5=\dfrac13\tm2+5=\dfrac{17}{3}; $u_2=\dfrac13u_1+5=\dfrac13\tm\dfrac{17}{3}+5=\dfrac{62}{9}

  2. \psset{unit=0.8cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,10)
\psline{->}(-.5,0)(10,0)
\psline{->}(0,-.5)(0,10)
\newcommand{\f}[1]{1 3 div #1 mul 5 add}
\psplot[linewidth=1.4pt]{0}{9.5}{\f{x}}
\rput(10,7.3){$y=\dfrac13x+5$}
\psplot{-0.2}{9.5}{x}\rput(8.8,9.5){$y=x$}
\newcommand\fn[2]{%
 \ifnum#1=1
 \f{#2}%
 \else
 \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
 \fi
}
\def\xinit{2}\def\nmax{4}
\psline[linestyle=dashed](\xinit,0)(!\xinit\space\f{\xinit})(!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
\rput(\xinit,-0.3){$u_0=2$}
\multido{\i=1+1}{\nmax}{
 \psline[linestyle=dashed](!\fn{\i}{\xinit} \space 0)(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
 \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
 \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$}
}
\def\ninf{20}
\psline[linecolor=blue](!\fn{\ninf}{\xinit}\space 0)(!\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})(!0\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})
\rput(!\fn{\ninf}{\xinit}\space -0.3){\blue$\ell$}
\rput(!-.3\space\fn{\ninf}{\xinit}){\blue$\ell$}
\end{pspicture}

    On peut conjecturer à partir de ce graphique que la suite $\left( u_n\rp est croissante et converge vers l'abscisse $\ell du point d'intersection des deux droites, soit $\ell tel que $y=\ell=\dfrac13\ell+5 \iff \ell=\dfrac{15}{2}.
  3. $v_{n+1}=u_{n+1}+h=\dfrac13u_n+5+h=\dfrac13\left( u_n+15+3h\rp.
    Pour que $(v_n) soit géométrique, on doit avoir $v_{n+1}=\dfrac13v_n=\dfrac13\left( u_n+h\rp, et on doit ainsi avoir $u_n+h=u_n+15+3h \iff h=-\dfrac{15}{2}.
  4. On a $v_0=u_0+h=2-\dfrac{15}{2}=-\dfrac92, et alors $v_n=\lp\dfrac13\rp^nv_0=-\dfrac{1}{3^n}\tm\dfrac92.
    Comme $v_n=u_n+h=u_n-\dfrac{15}{2}, on a donc $u_n=v_n+\dfrac{15}{2}.
     
    $(v_n) est une suite géométrique de raison $-1<\dfrac13<1, et donc, $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=0.
    Ainsi, $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}\left(
  v_n+\dfrac{15}{2}\rp=\dfrac{15}{2}, et on démontre ainsi la limite conjecturée à la question 2.


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