Oral du Bac - Suite récurrente arithmético-géométrique

Etude d'une suite: construction graphique, conjectures et démonstration à l'aide d'une suite auxiliaire géométrique

Oral du Bac: Suite récurrente, construction graphique des premiers termes, utilisation d'une suite auxiliaire géoémtrique, et calcul de la limite de la suite


Soit $\left( u_n\rp la suite définie par $u_0=2 et $u_{n+1}=\dfrac13u_n+5.
  1. Calculer $u_1 et $u_2.
  2. Tracer les droites d'équations $y=\dfrac13x+5 et $y=x. Construire sur ce graphique les premières termes $u_1, $u_2, $u_3,… de la suite.
    Quelles conjectures peut-on faire ?
  3. Soit $v_n la suite définie par $v_n=u_n+h. Déterminer le réel $h pour que la suite $(v_n) soit géométrique de raison $\dfrac13.
  4. Exprimer alors $v_n, puis $u_n, en fonction de $n. En déduire la limite de $\left( u_n\rp.

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