Oral du Bac - Etude d'une fonction avec exponentielle

D├ętermination de param├Ętres, asymptote et intersection de la courbe avec une droite


La figure donne la représentation graphique $\mathcal{C} de la fonction $f définie sur $\R par
f(x)=(ax+b)e^{cx}

$a, $b et $c sont des réels à déterminer.
On sait que la courbe passe par les points $A(-2; 0) et $B(0; 1). De plus, au point $C d'abscisse $-1, la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2.8,-1.3)(4.7,2.6)
\psline{->}(-2.6,0)(4.6,0)
\psline{->}(0,-1.2)(0,2.5)
\multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}}
\multido{\i=-1+1}{4}{\psline(.1,\i)(-.1,\i)\rput(-.3,\i){\i}}
\psplot{-2.1}{4.2}{0.5 x mul 1 add 2.718 -1 x mul exp mul}
\end{pspicture}

  1. Déterminer les valeurs des paramètres $a, $b et $c.
  2. Montrer que l'axe des abscisses est une asymptote.
  3. Déterminer les points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y=x+2.

Solution:


  1. D'après l'énoncé on sait que
    • $A(-2;0)\in\mathcal{C}\iff f(-2)=(-2a+b)e^{-2c}=0\iff -2a+b=0 car $e^{-2c}\not=0;
    • $B(0;1)\in\mathcal{C}\iff f(0)=b=1, donc aussi, d'après le résultat précédent, $-2a+b=0\iff a=\dfrac12.
       
      On a donc jusqu'ici, $f(x)=\lp\dfrac12x+1\right) e^{cx}.
    • la tangente au point d'abscisse $-1 est horizontale, donc son coefficient directeur est nul, soit $f'(-1)=0.
      $f est de la forme $f=v\times v, avec $u(x)=\dfrac12x+1 donc $u'(x)=\dfrac12, et $v(x)=e^{cx} donc $v'(x)=ce^{cx}.
      On a alors la dérivée: $f'=u'v+uv', soit $f'(x)=\dfrac12e^{cx}+c\lp\dfrac12x+1\right) e^{cx}=\dfrac12e^{cx}\lp cx+1+2c\right).
      Ainsi, $f'(-1)=0\iff \dfrac12e^{-c}\left( -c+1+2c\rp=0
    \iff -c+1+2c=0 car $e^{-c}\not=0, et donc $c=-1.

    En résumé, la fonction $f a pour expression $f(x)=\lp\dfrac12x+1\right) e^{-x}.
  2. Graphiquement, il semblerait que l'axe des abscisses soit une asymptote à $\mathcal{C} en $+\infty.
    On a $f(x)=\dfrac12 xe^{-x}+e^{-x}=\dfrac12\tm\dfrac{1}{\dfrac{e^{x}}{x}}+e^{-x}.
    Or, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty, et donc, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{e^{x}}{x}}=0.
    Comme on sait aussi que $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^x}=0, on a bien $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=0, ce qui montre bien que la droite d'équation $y=0, c'est-à-dire aussi l'axe des abscisses est asymptote à $\mathcal{C}.
  3. On cherche les abscisses $x telles que $f(x)=x+2\iff \lp\dfrac12x+1\right) e^{-x}=2\lp\dfrac12x+1\right)
  \iff \left( \dfrac12x+1\right) \left( e^{-x}-2\right)=0.
    On a donc deux solutions: $\dfrac12x+1=0\iff x=-2 ou $e^{-x}-2=0\iff x=-\ln(2).
    Il y a donc deux points d'intersection, les points $D(-2;f(-2)), soit $D\lp-2;0\rp, et $E\lp-\ln(2);f(-\ln(2)\rp, soit $E\lp-2;2-\ln(2)\rp.


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