Oral du Bac - Etude d'une fonction avec logarithme

Résolution approchée d'une équation et minimum d'une fonction


Soit $g la fonction définie sur $]0;+\infty[ par $g(x)=x^2+\ln(x).
  1. Dresser le tableau de variation de $g. Préciser les limites.
  2. Montrer que l'équation $g(x)=0 admet une unique solution $\alpha.
    Donner un encadrement de $\alpha d'amplitude $10^{-2}.
  3. Soit $f la fonciton définie $]0;+\infty[ par $f(x)=x^2+\lp\ln(x)\rp^2.
    Montrer que $f admet un minimum en $x=\alpha.

Solution:


  1. Pour tout $x>0, $g'(x)=2x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2+1}{x}.
    Pour $x>0, on $x^2>0, donc $2x^2+1>1>0, et ainsi, $g'(x)>0, et $g est strictement croissante sur $\R_+^*.
    En 0: $\dsp\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty, et donc $\dsp\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty.
    En $+\infty: $\dsp\lim_{x\to+\infty} x^2=\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty, donc, par addition des limites: $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty.

    \begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
  $x$ & $0$ &\qquad\qquad& $+\infty$ \\\hline
  $g'(x)$ & & $+$ &\\\hline
  &&&$+\infty$\\
  $g$ && \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,-.4)(.6,.4)&\\
  &$-\infty$&&\\\hline
  \end{tabular}


  2. $g est continue, strictement croissante sur $]0;+\infty[, avec $\dsp\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty<0 et $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty>0, donc, d'après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) il existe une unique solution $\alpha à l'équation $g(x)=0.
    A la calculatrice, on a $g(0,65)<0 et $g(0,66)>0, ce qui montre que $0,65<\alpha<0,66.
  3. Pour tout $x>0, $f'(x)=2x+2\dfrac1x \ln(x)=\dfrac2x\left( x^2+\ln(x)\rp=\dfrac2x g(x).

    \begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
  $x$ & $0$ &\qquad$\alpha$\qquad\qquad& $+\infty$ \\\hline
  &&&$+\infty$\\
  $g$ && 0\psline[arrowsize=7pt]{->}(-1,-.4)(1,.4)&\\
  &$-\infty$&&\\\hline
  $g(x)$ && $-$ \qquad \zb\qquad  $+$& \\\hline
  $f'(x)$ && $-$ \qquad \zb\qquad  $+$& \\\hline
  &&&\\
  $f$ &&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-1.4,.4)(-.4,-.4)& 
  \psline[arrowsize=7pt]{->}(-1.4,-.4)(-.4,.4)\\
  &&$f(\alpha)$&\\\hline
  \end{tabular}

    $f admet donc bien un minimum en $x=\alpha.


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