Oral du Bac - Etude d'une fonction avec logarithme

Etude du sens de variation et limites


Soit $f la fonction définie sur $]0;+\infty[ par $f(x)=1-\dfrac1x-2\ln(x).
 
Etudier la fonction $f (Sens de variation et limites aux bornes de l'ensemble de définition).

Solution:


  1. Pour tout $x>0, $f'(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac2x=\dfrac{1-2x}{x^2}.
    \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $0$ &&$\dfrac12$&& $+\infty$ \\\hline
  $1-2x$ && $+$ &\zb& $-$ &\\\hline
  $x^2$ &\db& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline
  $f'(x)$ &\db& $-$ &\zb& $+$ &\\\hline
  &&&$-1+2\ln(2)$&&\\
  $g$ && \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,-.4)(.6,.4)&&
  \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,.4)(.6,-.4)&\\
  &$-\infty$&&&&$-\infty$\\\hline
  \end{tabular}


    Limite en 0: $f(x)=1-\dfrac1x\left( 1+2x\ln(x)\rp, avec, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x\to0}x\ln(x)=0, donc $\dsp\lim_{x\to0^+}\dfrac1x\lp1+2x\ln(x)\rp=+\infty, et alors, $\dsp\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty.
     
    Limite en $+\infty: $\dsp\lim_{x\to+\infty}1-\dfrac1x=1 et $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty.
    Ainsi, par addition des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.


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