Oral du Bac - Etude d'une fonction avec logarithme

Etude du sens de variation et limites

Soit

la fonction définie sur $$]0;+\infty[$ par $$f(x)=1-\dfrac1x-2\ln(x)$ .

Etudier la fonction

(Sens de variation et limites aux bornes de l'ensemble de définition).

Solution:

Pour tout , $$f'(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac2x=\dfrac{1-2x}{x^2}$ .

$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $0$ &&$\dfrac12$&& $+\infty$ \\\hline $1-2x$ && $+$ &\zb& $-$ &\\\hline $x^2$ &\db& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $f'(x)$ &\db& $-$ &\zb& $+$ &\\\hline &&&$-1+2\ln(2)$&&\\ $g$ && \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,-.4)(.6,.4)&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,.4)(.6,-.4)&\\ &$-\infty$&&&&$-\infty$\\\hline \end{tabular}$

Limite en 0: $$f(x)=1-\dfrac1x\left( 1+2x\ln(x)\rp$ , avec, par croissances comparées, $$\dsp\lim_{x\to0}x\ln(x)=0$ , donc $$\dsp\lim_{x\to0^+}\dfrac1x\lp1+2x\ln(x)\rp=+\infty$ , et alors, $$\dsp\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ .

Limite en $$+\infty$ : $$\dsp\lim_{x\to+\infty}1-\dfrac1x=1$ et $$\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$ .
Ainsi, par addition des limites, $$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ .

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