Oral du Bac - Etude d'une fonction avec logarithme et exponentielle

Etude du sens de variation, limites et asymptote oblique


Soit $f la fonction définie par l'expression $f(x)=\ln\left( e^x+e^{-x}\rp.
On note $\mathcal{C} sa courbe dans un repère du plan.
  1. Quel est l'ensemble de définition de $f ?
  2. Etudier la limite de $f en $+\infty.
  3. Montrer que, pour tout réel $x, $f(x)=x+\ln\lp1+e^{-2x}\rp.
  4. Montrer que la droite d'équation $y=x est asymptote à $\mathcal{C} en $+\infty.

Solution:


  1. Le logarithme est défini sur $\R_+^*=]0;+\infty[. $f(x) est ainsi défini pour les valeurs réelles de $x telles que $e^x+e^{-x}>0.
    Or pour tout réel $x, $e^x>0 et $e^{-x}>0, donc $e^x+e^{-x}>0.
    $f est ainsi définie sur $\R.
  2. $\dsp\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty et $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^x}=0.
    Ainsi, par somme des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x+e^{-x}=+\infty, et, comme $\dsp\lim_{X\to+\infty}\ln\left( X\rp=+\infty, par composition des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln\left( e^x+e^{-x}\rp=\lim_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty.
  3. Pour tout réel $x,
    f(x)=\ln\left( e^x+e^{-x}\rp=\ln\left( e^x\left( 1+e^{-2x}\rp\rp=\ln\left( e^x\rp+\ln\left( 1+e^{-2x}\rp=x+\ln\left( 1+e^{-2x}\rp

  4. Pour tout $x réel, on a $f(x)-x=\ln\lp1+e^{-2x}\rp.
    $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-2x}=0, et donc, par composition des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln\lp1+e^{-2x}\rp=\ln(1)=0.
    Ainsi la droite d'équation $y=x est bien une asymptote oblique à $\mathcal{C} en $+\infty.


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