Oral du Bac - Géométrie dans l'espace

Positions relatives de droites dans l'espace


Tous les exercices type Bac 

Dans l'espace muni du repère orthonormal $\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp on considère les droites $D_1, $D_2 et $D_3 de représentations paramétriques:
D_1: \la\begin{array}{ll} x&=2-3t\\y&=1+t\\z&=-3+2t\enar\right., 
\qquad D_2: \la\begin{array}{ll} x&=6t\\y&=2-2t\\z&=5-4t\enar\right., 
\qquad D_3: \la\begin{array}{ll} x&=7+2t\\y&=2+2t\\z&=-6-t\enar\right. 
\text{ avec } t\in\R

Etudier la position relative des droites $D_1 et $D_2, puis $D_1 et $D_3, et enfin $D_2 et $D_3.

Solution:


Le vecteur $\vec{u} (-3; 1; 2) est un vecteur directeur de $D_1.
Le vecteur $\vec{v} (6; -2; -4) est un vecteur directeur de $D_2.
Les vecteurs $\vec{u} et $\vec{v} sont colinéaires, car $\vec{v}=-2\vec{u}, et les droites $D_1 et $D_2 sont donc parallèles.
Elles peuvent être confondues ou strictement parallèles.
$M(2;1;-3) est un point de $D_1. Dans la représentation paramétrique de $D_2:
\la\begin{array}{ll} 2&=6t\\1&=2-2t\\-3&=5-4t\enar\right.
\iff\la\begin{array}{ll} t=\dfrac13 \\ t=\dfrac12 \\ t=2\enar\right.

ce qui est impossible est montre donc que $M\notin D_2. Ainsi, $D_1 et $D_2 sont strictement parallèles.


Le vecteur $\vec{w} (2; 2; -1) est un vecteur directeur de $D_3. Comme $\vec{u} et $\vec{w} ne sont pas colinéaires, les droites $D_1 et $D_3 ne sont pas parallèles.
Soit $M(x;y;z) un éventuel point commun à $D_1 et $D_3, alors alors il existe deux réels $t et $t' tels que
\la\begin{array}{lcccl} x&=&2-3t&=&7+2t'\\y&=&1+t&=&2+2t'\\z&=&-3+2t&=&-6-t'\enar\right.\Longrightarrow
\la\begin{array}{ccl} 2t'&=&-5-3t\\2t'&=&-1+t\\-3+2t&=&-6-t'\enar\right.

Les deux premières équations donnent $2t'=-5-3t=-1+t\Longrightarrow t=-1, et donc, $t'=-1. La dernière équation est aussi vérifiée.
Ces deux droites sont donc sécantes en $M(5;0;-5).


$\vec{v} et $\vec{w} ne sont pas colinéaires et les droites $D_2 et $D_3 ne sont donc pas parallèles. On cherche de même que précédemment un point d'intersection $N(x;y;z):
\la\begin{array}{lcccl} x&=&6t&=&7+2t'\\y&=&2-2t&=&2+2t'\\z&=&5-4t&=&-6-t'\enar\right.\Longrightarrow
\la\begin{array}{ccl} 2t'&=&-7+6t\\2t'&=&-2t\\5-4t&=&-6-t'\enar\right.

Les deux premières équations donnent $2t'=-7+6t=-2t\Longrightarrow t=\dfrac78 et donc $t'=-t=-\dfrac78.
Par contre la dernière équation n'est pas vérifiée: $5-4t=5+4\tm\dfrac78=\dfrac{68}{8}
\not=
-6-t'=-6-\dfrac78=-\dfrac{55}{8}, et il n'existe donc pas de réels $t et $t'; les droites $D_2 et $D_3 ne sont pas sécantes.


Tous les exercices type Bac (écrit) 
Tous les exercices type Bac (Oral)