Oral du Bac - Géométrie dans l'espace

Intersection et distance entre un plan et une droite


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Dans l'espace muni du repère orthonormal $\left( O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp on considère le plan $P d'équation $x+y+z-3=0 ainsi que le point $M(2;-3;1).
  1. Le point $M est-il dans le plan $P ?
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite $D passant par $M et orthogonale à $P.
  3. Déterminer les coordonnées du point $H intersection de $D et $P.
  4. En déduire la distance du point $M au plan $P.

Solution:


  1. $x_M + y_M + z_M - 3 = 2 - 3 + 1 - 3 = -3 \not= 0 donc $M\notin P.
  2. $\vec{n} (1; 1; 1) est un vecteur normal de $P, la droite $D passant par $M et orthogonale à $P admet donc comme représentatation paramétrique: $\la\begin{array}{ll} x&=2+t\\ y&=-3+t \\ z&=1+t \enar\right.
  3. Comme $H\in D, il existe un réel $t tel que $H ait pour coordonnées $\la\begin{array}{ll} x&=2+t\\ y&=-3+t \\ z&=1+t \enar\right. Comme de plus $H\in P, ses coordonnées vérifient l'équation de $P donc $x + y + z - 3 =2+t-3+t+1+t-3 = 0, soit $3t - 3 = 0 et donc $t = 1.
    On a ainsi $H(3; -2; 2).
  4. La distance du point $M au plan $P est $HM. Comme $\overrightarrow{HM} (-1; -1; -1), on a donc $HM = \sqrt{3}.


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