Oral du Bac - Géométrie plane

Droites perpendiculaires dans un carré


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$ABCD est un carré. On définit les points $I et $J par $\overrightarrow{AI}=\dfrac23\overrightarrow{AB} et $\overrightarrow{AJ}=\dfrac13\overrightarrow{AD}.
Montrer que les droites $(DI) et $(JC) sont perpendiculaires.

Solution:


Pour montrer que les droites $(DI) et $(JC) sont perpendiculaires, on peut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{DI} et $\overrightarrow{JC} sont orthogonaux, donc que leur produit scalaire est nul.


Méthode 1:
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\rput(-.2,-.2){$A$}\rput(3.2,-.2){$B$}\rput(3.,3.2){$C$}\rput(.1,3.2){$D$}
\psline(2,.1)(2,-.1)\rput(2,-.3){$I$}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.3,1){$J$}
\psplot{-.4}{2.5}{-3 2 div x mul 3 add}
\psplot{-.7}{3.5}{2 3 div x mul 1 add}
\end{pspicture}


En notant $a=AB le coté du carré:
\begin{array}{ll}
\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{JC}&=\left( \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AI}\rp\cdot\left(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DC}\rp\\[.4cm]
&=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{JD}+\underbrace{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}}_{=0}+\underbrace{\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{JD}}_{=0}+\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{DC}\\[.6cm]
&=\lp-\overrightarrow{AD}\rp\cdot\lp\dfrac23\overrightarrow{AD}\rp
+\lp\dfrac23\overrightarrow{AB}\rp\cdot\overrightarrow{DC}\\[0.4cm]
&=-\dfrac23 a^2 + \dfrac23 a^2=0
\enar


Méthode 2: Dans le repère orthonormal $\left( A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rp:
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red,arrowsize=9pt]{->}(0,0)(0,3)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red,arrowsize=9pt]{->}(0,0)(3,0)
\rput(-.2,-.2){$A$}\rput(3.2,-.2){$B$}\rput(3.,3.2){$C$}\rput(.1,3.2){$D$}
\psline(2,.1)(2,-.1)\rput(2,-.3){$I$}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.3,1){$J$}
\psplot{-.4}{2.5}{-3 2 div x mul 3 add}
\psplot{-.7}{3.5}{2 3 div x mul 1 add}
\end{pspicture}

On a les coordonnées des points $J\lp0;\dfrac13\rp, $D\lp0;1\rp, $I\lp\dfrac23;0\rp et $C\lp1;1\rp, donc des vecteurs $\overrightarrow{DI}\left( \dfrac23;-1\rp et $\overrightarrow{JC}\left( 1;\dfrac23\rp. Ainsi, $\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{JC}=\dfrac23\tm1+(-1)\tm\dfrac23=0.


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