Oral du Bac - Nombres complexes

Calcul alg├ębrique sur les nombres complexes, module et arguments


On considère le nombre complexe $z=\lp\sqrt3+1\rp+i\lp\sqrt3-1\rp.
  1. Ecrire $z^2 sous forme algébrique.
  2. Déterminer le module et un argument de $z^2.
  3. En déduire le module et un argument de $z. Donner la mesure principale de l'argument de $z.

Solution:



  1. \begin{array}{ll}
  z^2&=\Bigl(\lp\sqrt3+1\rp+i\lp\sqrt3-1\rp\Bigr)^2 \\[.4cm]
  &=\lp\sqrt3+1\rp^2-\lp\sqrt3-1\rp^2+2i\lp\sqrt3+1\rp\lp\sqrt3-1\rp\\[.4cm]
  &=4\sqrt3+4i
  \enar

  2. On a donc, $\left|z^2\right|=\sqrt{\lp4\sqrt3\rp^2+4^2}=8 et $\arg\left( z^2\rp=\theta avec $\cos\theta=\dfrac{4\sqrt3}{8}=\dfrac{\sqrt3}{2} et $\sin\theta=\dfrac{4}{8}=\dfrac12, d'où $\theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, $k\in\Z.
  3. Comme $\left|z^2\right|=|z|^2=8, on en déduit que $|z|=\sqrt8=2\sqrt2.
    De plus, $\arg\left( z^2\rp=2\arg\left( z\rp=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, $k\in\Z, et ainsi, $\arg\left( z\rp=\dfrac{\pi}{12}+k\pi, d'où $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12} ou $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}-\pi=-\dfrac{11\pi}{12}.
    Comme la partie réelle de $z est positive $\lp\Re e(z)=\sqrt3+1\rp, on a nécessairement $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}.


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