Oral du Bac - Equation du second degré

Ecriture exponentielle des solutions


Résoudre dans $\C l'équation $z^2-2\sqrt2\,z+4=0. Ecrire les solutions sous forme exponentielle.

Solution:


Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta=\lp2\sqrt{2}\rp^2-4\tm1\tm4=-8<0.
L'équation admet donc deuxsolutions complexes conjuguées:
z_1=\dfrac{2\sqrt2-i\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2\sqrt2-i2\sqrt2}{2}=\sqrt2\lp1-i\right)
\quad,\qquad 
z_2=\overline{z_1}=\sqrt2\lp1+i\rp

On a $\left| z_1\right|=2 et $arg\left( z_1\rp=\theta tel que $\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2} et $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}, ainsi $\theta=-\dfrac{\pi}{4}, et donc, $z_1=2e^{-i\frac{\pi}{4}}.
On a alors, $z_2=\overline{z_1}=2e^{i\frac{pi}{4}}.


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