Oral du Bac

Puissance sixième d'un nombre complexe


Soit le nombre complexe $z=1+i\sqrt3. Calculer $z^6.

Solution:


On a $|z|=\sqrt{1+3}=2 et $\arg(z)=\theta avec $\cos\theta=\dfrac{1}{2} et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Ainsi, $\arg(z)=\theta=\dfrac{\pi}{3}, et, sous forme exponentielle, $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}.
On a alors, $z^6=\left( 2e^{i\frac{\pi}{3}}\rp=2^6 e^{6i\frac{\pi}{3}}=64e^{2i}=64


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