Oral du Bac - Probabilité continues

Loi normale - Détermination de l'écart type



Soit $X une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=6 et d'écart-type $\sigma=0,3.
  1. Calculer la probabilité $P\left( X\in\bigl[5,\!7\,;\,6,\!3\bigr]\rp
  2. On souhaite modifier l'écart-type de la variable aléatoire $X de telle sorte que
    P\left( X\in\bigl[5,\!7\,;\,6,\!3\bigr]\rp=0,95


    La variable aléatoire $X suit donc désormais la loi normale d'espérance $\mu=6 et d'écart-type $\sigma inconnu.
    1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Z=\dfrac{X-6}{\sigma} ?
    2. Exprimer la probabilité $P\left( X\in\bigl[5,\!7\,;\,6,\!3\bigr]\rp à l'aide de la variable aléatoire $Z.
    3. Déterminer l'écart-type $\sigma.

Solution:


  1. A l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left( X\in\bigl[5,\!7\,;\,6,\!3\bigr]\rp\simeq 0,68.
    Sans calculatrice, on sait d'après le cours, que si $X suit la loi normale d'espérance $\mu et d'écart-type $\sigma, alors $P\left( \mu-\sigma\leqslant X\leqslant X+\sigma\rp\simeq 0,68.
    1. La variable aléatoire $Z suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1).

    2. \begin{array}{ll}
    P\left( X\in\bigl[5,\!7\,;\,6,\!3\bigr]\rp&=P\left(5,7\leqslant X\leqslant 6,3\rp\\[.4cm]
    &=P\lp\dfrac{5,7-6}{\sigma}\leqslant \dfrac{X-6}{\sigma}\leqslant\dfrac{6,3-6}{\sigma}\rp\\[.4cm]
    &=P\lp-\dfrac{0,3}{\sigma}\leqslant Z\leqslant\dfrac{0,3}{\sigma}\rp\\
    \enar

    3. On veut que $P\lp-\dfrac{0,3}{\sigma}\leqslant X\leqslant\dfrac{0,3}{\sigma}\rp=0,95.
      De même que précédemment, on sait d'après le cours, que pour la loi normale d'espérance $\mu et d'écart-type $\sigma, on a $P\left( \mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma\rp\simeq 0,95.
      Ici, avec $\mu=6, on veut donc que $5,7=\mu-2\sigma=6-2\sigma et $6,3=\mu+2\sigma=6+2\sigma.
      On veut donc que l'écart-type soit $\sigma=0,15.


      Deuxième méthode: En notant $\Pi la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite: $\Pi(t)=P(Z\leqslant t), on a: $P\lp-\dfrac{0,3}{\sigma}\leqslant Z\leqslant\dfrac{0,3}{\sigma}\right)
    =2\Pi\lp\dfrac{0,3}{\sigma}\rp-1.
      On veut donc que $2\Pi\lp\dfrac{0,3}{\sigma}\rp-1=0,95\iff 
    \Pi\lp\dfrac{0,3}{\sigma}\rp=\dfrac{1+0,95}{2}=0,975.
      A la calculatrice, ou avec une table de valeurs de $\Pi, on trouve que $\Pi(1,96)\simeq 0,975.
      Ainsi, on veut que $\dfrac{0,3}{\sigma}\simeq 1,96\iff \sigma\simeq\dfrac{0,3}{1,96}\simeq0,15.


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