Oral du Bac - Probabilité continues

Primitive et densité de probabilité


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Soit $F la fonction définie sur $\R par l'expression: $F(x)=xe^{-x}.
  1. Montrer que $F est une primitive de la fonction $f définie sur $\R par $f(x)=(1-x)e^{-x}.
    Existe-t'il d'autres primitives de la fonction $f ?
  2. La fonction $f est-elle une fonction densité de loi de probabilité sur l'intervalle $[0;1] ?

Solution:


  1. $F est un produit de deux fonctions: $F=uv, avec $u(x)=x, donc $u'(x)=1, et $v(x)=e^{-x}=e^{w(x)}, donc $v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-e^{-x}.
    On a alors, $F'=u'v+uv', soit $F'(x)=1\times e^{-x}+x\lp-e^{-x}\rp=(1-x)e^{-x}=f(x).
    Ainsi, $F est bien une primitive de $f.
    L'ensemble des primitives de $f est donc l'ensemble des fonctions qui s'écrivent sous la forme $F+k, où $k est un réel quelconque.
  2. Une fonction $f est une densité de loi de probabilité sur l'intervalle $[a;b] si
    • $f est définie sur $[a;b];
    • $f est positive, c'est-à-dire que, pour tout $x\in[a;b], $f(x)\geqslant0.
    • $\dsp\int_a^b f(x)dx=1.



    Ici,
    • $f est définie sur $\R donc aussi sur $[0;1];
    • Pour tout $x\in[0;1], on a $e^{-x}>0, et $0\leqslant x\leqslant 1 \iff -1\leqslant x\leqslant 0\iff 0\leqslant1-x\leqslant 1, et ainsi, $f(x)=(1-x)e^{-x}\geqslant0 sur $[0;1];
    • Comme $F est une primitive de $f,
      \int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=1e^{-1}-0e^{-0}\not=1


    Ainsi, la fonction $f n'est pas une densité de loi de probabilité sur $[0;1].


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