Oral du Bac - Nombres complexes

Calcul algébrique sur les formess exponentielles, et somme de termes

Oral du Bac: Nombres complexes, forme exponentielle et somme des premiers termes d'une suite géométrique complexe


On pose $\omega=e^{^{\dsp2i\frac{\pi}{5}}}.
  1. Caluler $\omega^5.
  2. Montrer que $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0.
  3. On pose $u=\omega+\omega^4 et $v=\omega^2+\omega^3.
    Montrer que $u+v=-1 et que $uv=-1.
    En déduire $u et $v.
  4. Justifier que $u=\omega+\overline{\omega}. En déduire que la valeur exacte de $\cos\dfrac{2\pi}{5}.

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