Oral du Bac - Nombres complexes

Calcul alg├ębrique sur les formess exponentielles, et somme de termes


On pose $\omega=e^{^{\dsp2i\frac{\pi}{5}}}.
  1. Caluler $\omega^5.
  2. Montrer que $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0.
  3. On pose $u=\omega+\omega^4 et $v=\omega^2+\omega^3.
    Montrer que $u+v=-1 et que $uv=-1.
    En déduire $u et $v.
  4. Justifier que $u=\omega+\overline{\omega}. En déduire que la valeur exacte de $\cos\dfrac{2\pi}{5}.

Solution:


  1. $\omega^5=\left( e^{^{\dsp2i\frac{\pi}{5}}}\rp^5=e^{^{\dsp5\tm2i\frac{\pi}{5}}}=e^{2i\pi}=1.
  2. $S=1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4 est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison $\omega\not=1. Ainsi, $S=1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=\dfrac{1-\omega^5}{1-\omega}=0.

  3. \begin{array}{ll}
  u+v&=\omega+\omega^4+\omega^2+\omega^3=S-1=-1 \\[0.6cm]
  uv&=\lp\omega+\omega^4\rp\lp\omega^2+\omega^3\rp
  =\omega^3+\omega^4+\omega^6+\omega^7\\[0.4cm]
  &=\omega^3\left( 1+\omega+\omega^3+\omega^4\right)
  =\omega^3\left( S-\omega^2\rp\\[0.4cm]
  &=\omega^3\left( -\omega^2\rp=-\omega^5=-1
  \enar

  4. On a donc $v=-1-u et donc, $uv=-1\iff u(-1-u)=-1\iff u^2+u-1=0.
    Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=5>0 et admet donc deux solutions réelles: $u=\dfrac{-1-\sqrt5}{2} et $u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}.
    Comme $u=\omega+\omega^4 est un réel positif, on a nécessairement $u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}, et donc $v=-1-u=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}.
  5. $\omega^4=\dfrac{\omega^5}{\omega}=\dfrac{1}{\omega}=e^{-2i\pi/5}
  =\overline{\omega}. Ainsi, $u=\omega+\overline{\omega}=2\Re e\left( \omega\right)
  =2\cos\dfrac{2\pi}{5}.
    D'après le résultat de la question précédente, on a donc, $\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}.


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