Oral du Bac - Nombres complexes

Calcul algébrique sur les formess exponentielles, et somme de termes

On pose $$\omega=e^{^{\dsp2i\frac{\pi}{5}}}$ .

Caluler $$\omega^5$ .
Montrer que $$1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0$ .
On pose $$u=\omega+\omega^4$ et $$v=\omega^2+\omega^3$ .
Montrer que et que .
En déduire et .
Justifier que $$u=\omega+\overline{\omega}$ . En déduire que la valeur exacte de $$\cos\dfrac{2\pi}{5}$ .

$$\omega^5=\left( e^{^{\dsp2i\frac{\pi}{5}}}\rp^5=e^{^{\dsp5\tm2i\frac{\pi}{5}}}=e^{2i\pi}=1$ .
$$S=1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4$ est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison $$\omega\not=1$ . Ainsi, $$S=1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=\dfrac{1-\omega^5}{1-\omega}=0$ .
$\begin{array}{ll} u+v&=\omega+\omega^4+\omega^2+\omega^3=S-1=-1 \\[0.6cm] uv&=\lp\omega+\omega^4\rp\lp\omega^2+\omega^3\rp =\omega^3+\omega^4+\omega^6+\omega^7\\[0.4cm] &=\omega^3\left( 1+\omega+\omega^3+\omega^4\right) =\omega^3\left( S-\omega^2\rp\\[0.4cm] &=\omega^3\left( -\omega^2\rp=-\omega^5=-1 \enar$
On a donc et donc, $$uv=-1\iff u(-1-u)=-1\iff u^2+u-1=0$ .
Cette équation du second degré a pour discriminant $$\Delta=5>0$ et admet donc deux solutions réelles: $$u=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ et $$u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ .
Comme $$u=\omega+\omega^4$ est un réel positif, on a nécessairement $$u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ , et donc $$v=-1-u=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ .
$$\omega^4=\dfrac{\omega^5}{\omega}=\dfrac{1}{\omega}=e^{-2i\pi/5} =\overline{\omega}$ . Ainsi, $$u=\omega+\overline{\omega}=2\Re e\left( \omega\right) =2\cos\dfrac{2\pi}{5}$ .
D'après le résultat de la question précédente, on a donc, $$\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}$ .

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