@ccueil Colles

Convexité de la fonction exponentielle


Une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ est convexe lorsque sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Par exemple, pour la parabole (voir la démonstration) de la fonction carré:
\[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(3.5,5)
\psline{->}(-3,0)(3,0)\psline{->}(0,-1)(0,5)
\newcommand{\ff}[1]{#1 2 div}
\multido{\i=-8+1}{16}{\psplot{-5}{3}{\ff{\i} 2 mul x \ff{\i} sub mul \ff{\i} 2 exp add}}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2.5pt]{-3}{2.5}{x 2 exp}
\end{pspicture*}\]




Exercice: On considère la fonction exponentielle $f(x)=\exp(x)$ et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
  1. Donner l'équation de la tangente $T_a$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$.
  2. Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ par rapport à $T_a$.
    En déduire que la fonction exponentielle est convexe.



Voir aussi: