Convexité de la fonction exponentielle


Une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I est convexe lorsque sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Par exemple, pour la parabole (voir la démonstration) de la fonction carré:
\[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-3.5,-1)(3.5,5) \psline{->}(-3,0)(3,0)\psline{->}(0,-1)(0,5) \newcommand{\ff}[1]{#1 2 div} \multido{\i=-8+1}{16}{\psplot{-5}{3}{\ff{\i} 2 mul x \ff{\i} sub mul \ff{\i} 2 exp add}} \psplot[linecolor=red,linewidth=2.5pt]{-3}{2.5}{x 2 exp} \end{pspicture*}\]




Exercice: On considère la fonction exponentielle f (x) = exp(x) et on note Cf sa courbe représentative.
  1. Donner l'équation de la tangente Ta à Cf au point d'abscisse a.
  2. Étudier la position relative de Cf par rapport à Ta.
    En déduire que la fonction exponentielle est convexe.
Solution:
  1. L'équation de la tangente est $T_a: y=f'(x)(x-a)+f(a)$, soit, avec $f(x)=e^x$ et donc aussi $f'(x)=e^x$,

    \[T_a: y=e^a(x-a)+e^a\]

  2. D'une manière générale, on étudie la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ représentatives des courbes $f$ et $g$ en étudiant le signe de la différence $d(x)=f(x)-g(x)$.

    Ici, on étudie le signe de
    \[\begin{array}{ll} d(x)&=f(x)-y\\ &=e^x-\left( e^a(x-a)+e^a\rp\\ &=e^x-e^a\left( x-a\rp-e^a \end{array}\]

    Pour étudier ce signe, on peut penser à étudier la fonction (dérivée, variations ...)

    On a, pour tout réel $x$,
    \[d(x)=e^x-xe^x+ae^a-e^a\]

    et donc, $e^a$ étant une constante (donc de dérivée nulle),
    \[d'(x)=e^x-e^a\]

    On a alors,
    \[\begin{array}{ll} d'(x)>0&\iff e^x>e^a\\ &\iff x>a\end{array}\]

    car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
    On obtient donc le tableau de variations:
    Variation de de d(x)

    avec $d(a)=e^a-e^a(a-a)-e^a=0$.

    On trouve donc que $d(x)\geqslant0$ pour tout réel $x$, et donc que $\mathcal{C}$ est au-dessus de sa tangente $T_a$.
    Ceci étant valable pour un $a$ quelconque, on vient ainsi de montrer que $\mathcal{C}$ est toujours au-dessus de toutes ses tangentes, c'est-à-dire que la fonction exponentielle est convexe.

    Courbe exponentielle au dessus de ses tangentes

Voir aussi:
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