Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques TS: continuité et dérivation des fonctions},
pdftitle={Fonctions: continuité et dérivée},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S,
fonctions, dérivation, continuité,
théorème des valeurs intermédiaires, TVI,
étude de fonctions, dérivée, sens de variation
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newcounter{nex}%[section]
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
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\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\newcounter{ntheo}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
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\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
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\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Continuité et dérivation des fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE - $T^{\text{ale}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\vspace{-0.6cm}
%\bgex
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression:
%$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.
%
%\bgen
%\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
% Interpréter graphiquement ces résultats.
%
%\item Dresser le tableau de variation de $f$.
%
%\item Déterminer l'équation de la tangente $T_0$ au point d'abscisse
% $0$.
%
%\item Tracer $T_0$ et $\Cf$.
%\enen
%\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\la -3;1\ra$ par
l'expression:
$f(x)=\dfrac{x}{x^2+2x-3}$.
\bgen
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de
définition.
Interpréter graphiquement\!.% ces résultats.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente $T_0$ au point d'abscisse
$0$.
\item Tracer $T_0$ et $\Cf$.
\enen
\enex
\bgex On considère la fonction $x\mapsto E(x)$, appelée
fonction "partie entière" et qui, à tout $x$ réel, associe le plus
grand entier inférieur ou égal à $x$.
Par exemple, $E(3,6)=3$ et $E(-1,78)=-2$.
Tracer sa courbe représentative sur l'intervalle $]-4;4]$.
La fonction partie entière est-elle continue ?
\enex
\vspd\noindent
\bgmp{11.3cm}
\bgex
On donne ci-contre le tableau de variation d'une fonction $f$.
Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$.
(on justifiera le résultat).
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline
&$+\infty$&&&&1\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&-5&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgex
Démontrer que l'équation $x^3+3x=5$ admet une unique solution sur
$\R$.
Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution.
\enex
\bgex
On considère la fonction $h$ définie sur $]-1;+\infty[$ par
$h(x)=2x-3+\sqrt{x+1}$.
\bgen
\item Donner le tableau de variations de $h$.
\item En déduire que l'équation $\sqrt{x+1}=3-2x$ admet une unique
solution $\alpha$ dans $[-1;+\infty[$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\enen
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=x^2+3x-1$.
Montrer que $f$ est dérivable en $x=2$ et en déduire $f'(2)$.
Déterminer directement la fonction dérivée $f'$ de $f$, et retrouver
le résultat précédent.
\enex
\bgex
Soit la fonction $h$ définie sur $\R^+$ par $h(x)=\sqrt{x}$.
Montrer que la fonction $h$ n'est pas dérivable en $0$.
Interpréter graphiquement le résultat précédent.
\enex
\bgex
Montrer que la fonction $\dsp k:x\mapsto \frac{x\sqrt{x}}{1+x}$ est
dérivable en $0$.
Que vaut $k'(0)$ ?
\enex
%\bgex \it{Dérivée de la fonction tangente.}
%
%La fonction tangente est définie par
%$\dsp\tan : x\mapsto \frac{\sin x}{\cos x}$.
%Calculer sa fonction dérivée.
%\enex
\bgex Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes:
\vsp
\begin{tabular}{lll}
$\bullet\ f_1:x\mapsto x^{23}-\dfrac{12x^{11}}{5}+3,5x^7-\dfrac{1}{x}$
&
$\bullet\ f_2:x\mapsto \sqrt{x}+\dfrac{1}{x+2}$
&
$\bullet\ f_3:x\mapsto \sqrt{x+3}$
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_4:x\mapsto \dfrac{x^3+3x+1}{2x^2+4x+8}$
&
$\bullet\ f_5:x\mapsto \sqrt{x^2+3x-10}$
&
$\bullet\ f_6(x)=\dfrac{x^2+2}{x-5}$
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_7(x)=x^2\cos(x)$
&
$\bullet\ f_8(x)=\cos(2x+3)$
&
$\bullet\ f_9(x)=(2x^2+3x-2)^7$
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_{10}(x)=\sqrt{4-x^2}$
&
$\bullet\ f_{11}(x)=-4x+6x\sqrt{x}$
&
$\bullet\ f_{12}(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_{13}(x)=\lp\dfrac{3x-4}{x-1}\rp^3$
&
$\bullet\ f_{14}(x)=\sqrt{3x^2-\dfrac{1}{9x}}$
&
$\bullet\ f_{15}(x)=\sqrt{2+\cos^2(2x+1)}$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Déterminer les extrema éventuels de
$\dsp f:x\mapsto x+\frac{2}{x}$.
Vérifier que ces points sont bien des extrema, et préciser s'il s'agit
de minima ou de maxima.
\enex
\bgex
\!\!$f$ est définie sur $\R$ par\!:\!
$f(x)=x^3-2x^2-4$.
Montrer que $-6$ est un minorant \mbox{de $f$ sur~$\R_+$.}
%$[0;+\infty[$.
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
$f_m$ est la fonction définie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par:
$ f_m(x)=\dfrac{x^2+mx}{x^2-1}\ ,
\mbox{ où $m$ est un réel.}
$
Pour quelles valeurs de $m$, $f_m$ n'admet-elle ni maximum
ni minimum ?
\enex
\bgex
$f$ est définie sur $\R$ par
$f(x)=x^2$ et $g$ la fonction définie sur $\R\setminus\la3\ra$ par
$\dsp g(x)=9+\frac{12}{x-3}$.
\bgen
\item
\bgit
\item[a)] Etudier les variations de $g$ et ses limites aux bornes de son
ensemble de définition.
\item[b)] Dans un même repère, tracer les courbes représentatives
des fonctions $f$ et $g$.
\item[c)] Indiquer, par lecture graphique, le nombre de solutions
dans $\R$ de l'équation $f(x)=g(x)$.
\enit
\vsp
\item $h$ est la fonction définie sur $\R\setminus\la3\ra$ par:
$\dsp h(x)=(x-3)\lb f(x)-g(x)\rb$.
\vsp
\bgit
\item[a)] Etudier les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item[b)] Etudier les variations de $h$ et dresser son tableau de
variations.
\item[c)] En déduire que l'équation $f(x)=g(x)$ admet trois
solutions.
\item[d)] Donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de chaque solution.
\enit
\enen
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
On note $(E)$ l'équation $x^3-15x-4=0$ et $(I)$ l'inéquation
$x^3-15x-4>0$.
\vspace{-0.5cm}
\paragraph{1. Résolution graphique}
\bgit
\item[a)] Montrer que l'équation $(E)$ est équivalente à l'équation
$\dsp x^2-15=\frac{4}{x}$
\vspace{-0.2cm}
\item[b)] Tracer dans un même repère les courbes représentatives des
fonctions $x\mapsto x^2-15$ et $\dsp x\mapsto \frac{4}{x}$.
\item[c)] Déterminer graphiquement le nombre de solutions de
l'équation $(E)$.
Une des solutions est un nombre entier, quelle est sa valeur ?
Encadrer chacune des autres solutions $\alpha$ et $\beta$
(avec $\alpha<\beta$) par deux entiers consécutifs.
\item[d)] Démontrer que l'inéquation $(I)$ s'écrit sur
$]0;+\infty[$, $\dsp x^2-15>\frac{4}{x}$,
et sur $]-\infty;0[$, $\dsp x^2-15<\frac{4}{x}$.
\enit
\vspace{-0.4cm}
\paragraph{2. Etude d'une fonction}
$f$ est définie sur $\R$ par
$f(x)=x^3-15x-4$.
$\Cf$ est sa courbe représentative.
\vsp
\bgit
\item[a)] Justifier la continuité de $f$ sur $\R$.
\item[b)] Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item[c)] Déterminer les variations de $f$ et dresser son tableau de
variations.
Tracer l'allure de $\Cf$.
\item[e)] Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois
solutions dans $\R$.
\item[f)] Donner un encadrement à $10^{-2}$ près de chacune des
solutions.
\item[g)] Etudier le signe de la fonction $f$. En déduire l'ensemble
des solutions de l'inéquation $(I)$.
\enit
\vspace{-0.4cm}
\paragraph{3. Méthode algébrique}
\bgit
\item[a)] Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel
$x$,
$x^3-15x-4=(x-4)(ax^2+bx+c)$.
\item[b)] Résoudre alors $(E)$ et $(I)$.
\enit
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
$f$ est la fonction polynôme définie sur $\R$ par:
$\dsp f(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}x^2+4x$.
\bgen
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$,
puis sa dérivée seconde $f''$.
\vsp
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer les variations de la fonction $f'$,
et dresser le tableau de variation de $f'$.
\item Prouver que l'équation $f'(x)=0$ admet une solution unique $c$ et
que cette solution appartient à l'intervalle $]-\infty;-1]$.
Donner un encadrement de $c$ d'amplitude $10^{-2}$.
\enen
\vsp
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer le signe de la fonction $f'$, puis
dresser le tableau de variation de la fonction~$f$.
\item Montrer que $\dsp f(c)=\frac{3c(4-c)}{4}$
\item Déterminer le nombre de racines du polynôme $f$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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