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Description
Cours de mathématiques: Continuité et dérivabilité des fonctions
Niveau
Terminale S
Table des matières
  • Continuité
  • Théorème des valeurs intermédiaires - bijection
  • Dérivabilité et tangente
  • Approximation affine
  • Etude de fonctions
  • Exercices
Mots clé
Cours de mathématiques, continuité, dérivabilité, dérivée, taux d'accroissement, approximation affine, étude de fonction
Voir aussi:

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\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques TS: continuité et dérivation des fonctions},
    pdftitle={Fonctions: continuité et dérivée},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S,
      fonctions, dérivation, continuité, 
      théorème des valeurs intermédiaires, TVI, 
      étude de fonctions, dérivée, sens de variation
    }
}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }


\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.3cm

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Continuité et dérivation des fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{lastpage}

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\setlength{\headheight}{0cm}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE - $T^{\text{ale}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}

%\tableofcontents

\vspace{-0.6cm}
%\bgex
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression:
%$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$. 
%
%\bgen
%\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
%  Interpréter graphiquement ces résultats. 
%
%\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
%
%\item Déterminer l'équation de la tangente $T_0$ au point d'abscisse
%  $0$.  
%
%\item Tracer $T_0$ et $\Cf$.
%\enen
%\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\la -3;1\ra$ par 
l'expression:
$f(x)=\dfrac{x}{x^2+2x-3}$. 

\bgen
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de
  définition. 
  Interpréter graphiquement\!.% ces résultats. 

\item Dresser le tableau de variation de $f$. 

\item Déterminer l'équation de la tangente $T_0$ au point d'abscisse
  $0$.  

\item Tracer $T_0$ et $\Cf$.
\enen
\enex


\vspace{-0.6cm}
\section{Continuité}

\vspace{-0.8cm}
\bgdef{
  Une fonction $f$ est dite continue en un point $a$ si 
  $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$. 

  Une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle est
  continue en tout point de $I$. 
}

\vspt
Graphiquement, une fonction $f$ continue sur $I$ a une courbe
représentative en "un seul morceaux", c'est-à-dire qu'on peut tracer
sa courbe sans lever le stylo. 

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} La fonction carré $x\mapsto x^2$ est continue en tout
point $a$ de $\R$: 
pour tout réel $a$, $\dsp\lim_{x\to a} x^2=a^2$. 
%$x^2$ est aussi proche que l'on veut de $a^2$ (dans tout intervalle
%ouvert contenant $a^2$), dès que $x$ est assez proche~de~$a$. 

\bgex On considère la fonction $x\mapsto E(x)$, appelée
fonction "partie entière" et qui, à tout $x$ réel, associe le plus
grand entier inférieur ou égal à $x$. 
Par exemple, $E(3,6)=3$ et $E(-1,78)=-2$. 
Tracer sa courbe représentative sur l'intervalle $]-4;4]$. 
La fonction partie entière est-elle continue ?
\enex

\vspace{-0.3cm}
\bgprop{ \vspace{-0.4cm}

  \bgen[$\bullet$] 
  \item Les fonctions polynômes sont continues sur $\R$. 
  \item La fonction racine carrée est continue sur
    $\R_+^*=[0;+\infty[$. 
    \item Les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes) sont
      continues sur leur ensemble de définition. 
    \item Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont continues sur $\R$. 
    \item La somme, le produit, le quotient et la composée de
      fonctions continues est une fonction continue sur tout
      intervalle sur lequel elle est définie.
  \enen
}


\vspd\noindent
{\bf Convention:} On convient que, dans un tableau de variation, une 
flèche oblique indique que la fonction est 
{\bf\ul{continue et strictement monotone}} sur l'intervalle
considéré. 

\vspace{-0.3cm}
\bgth{{\bf des valeurs intermédiaires (1)}
  
  Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$, 
  et soit $a\in I$ et $b\in I$. 

  Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, 
  il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que
  $f(c)=k$. 

  En d'autres termes, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution
  $c$ entre $a$ et $b$. 
}

\vspd\noindent
\ul{Remarque:} On peut avoir $a=-\infty$ et/ou $b=+\infty$; 
dans ce cas, on doit simplement remplacer $f(a)$ et/ou $f(b)$ dans le
théorème précédent par la limite de $f$ en $\pm \infty$. 

\vspace{-0.3cm}
\bgth{{\bf des valeurs intermédiaires (2) - Théorème de la bijection}
  
  Soit $f$ une fonction définie, continue et strictement monotone sur
  $[a;b]$; 
  alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, 
  il existe un unique réel $c$ dans $[a;b]$ tel que
  $f(c)=k$. 

  En d'autres termes, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution
  $c$ sur $[a;b]$.
}

\vspd\noindent
{\sl\ul{Remarque:}} On dit dans ce cas que $f$ réalise une \ul{bijection}
de $[a;b]$ dans $[f(a);f(b)]$.

\vspd\noindent
\bgmp{11.3cm}
\bgex
On donne ci-contre le tableau de variation d'une fonction $f$. 

Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$. 
(on justifiera le résultat). 
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline
  &$+\infty$&&&&1\\
  $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
  &&&-5&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp


\bgex
Démontrer que l'équation $x^3+3x=5$ admet une unique solution sur
$\R$. 

Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution. 
\enex

\bgex
On considère la fonction $h$ définie sur $]-1;+\infty[$ par 
$h(x)=2x-3+\sqrt{x+1}$. 

\bgen
\item Donner le tableau de variations de $h$.
\item En déduire que l'équation $\sqrt{x+1}=3-2x$ admet une unique
  solution $\alpha$ dans $[-1;+\infty[$. 
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
\enen
\enex

\vspace{-0.6cm}
\section{Dérivabilité et tangente}

\vspace{-0.6cm}
\bgdef{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 
\bgit
\item[$\bullet$] On appelle {\bf taux de variation} en $a\in I$, 
  le nombre $\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

  \vsp
\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dérivable en $a$ si 
  la limite lorque $h$ tend vers $0$ du taux de variation existe. 
  Dans ce cas, la limite est le {\bf nombre dérivée de $f$} en $a$, 
  noté $f'(a)$:
\vspace{-0.3cm}
  \[\lim_{h\to 0}\tau(h)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)
  \]

  \vspace{-0.2cm}
\item[$\bullet$] Une fonction est dérivable sur un intervalle $I$ si
  elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$. 

  On appelle alors {\bf fonction dérivée} de $f$ la fonction $x\mapsto f'(x)$.
\enit
}

\bgmp{7.5cm}
\psset{arrowsize=7pt,xunit=3cm,yunit=2.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(1.8,1.8)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(1.8,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7)
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.55}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
  \psplot[linewidth=1.pt]{0.2}{1.6}{x -0.5 add}
  \psplot[linewidth=.8pt]{0.5}{1.6}{2 x mul -1.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.5)(1.,.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.414,0)(1.414,1.328)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,1.328)(1.414,1.328)
  \rput(1,-0.1){$a$}\rput(-0.2,0.55){$f(a)$}
  \rput(1.4,-0.1){$a+h$}\rput[Br](-0.1,1.32){$f(a+h)$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(1,-0.3)(1.414,-0.3)\rput(1.2,-0.4){$h$}
  \rput(1,0.5){\LARGE\bf$.$}\rput(1.1,0.5){$A$}
  \rput(1.414,1.328){\LARGE\bf$.$}\rput(1.55,1.36){$M$}
  \rput(-0.5,.3){$\Cf$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{10cm}
Le taux de variation est le coefficient directeur de la corde 
$(AM)$: 

\vspace{-0.3cm}
\[ \tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]

Lorsque $h$ tend vers $0$, le point $M$ tend vers le point $A$, et la
corde $(AM)$ "tend vers" la tangente à $\Cf$ en $A$, 
\[ \lim_{h\to0}\tau(h)=f'(a)
\]

\vspace{-0.2cm}
\fbox{\fbox{
\bgmp{9cm}
le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente
à $\Cf$ au point d'abscisse $a$.
\enmp
}}
\enmp

\vspace{-0.4cm}
\paragraph{Autres notations}
{\it On note souvent avec un "$\Delta$" les variations, ainsi le coefficient
directeur d'une droite passant par $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ s'écrit
selon la formule: \ 
$\dsp \frac{\Delta y}{\Delta x}=
\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. 

\vsp\noindent
Le taux de variation de la fonction au point d'abscisse
$x$ s'écrit, selon cette notation, 
$\dsp \tau=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}
$. 

\vsp
La dérivée $f'(x)$ s'obtient en étudiant la limite du taux de
variation lorsque $\Delta x\to0$, ce que l'on note encore: 
$\dsp f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}
=\frac{df(x)}{dx}
$
qui se lit, "la dérivée de $f$ par rapport à $x$". 

\vsp\noindent
Cette notation a été en premier introduite par Leibniz (1646-1716), 
mathématicien, physicien, logicien, philosophe, diplomate, homme de
loi, allemand 
(ainsi que les termes de "fonction", "coordonnées", du symbole
intégral "$\dsp\int_a^b$", et des concepts de continuité et d'énergie
cinétique (force vive), entre autres\dots
}

\vsp
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=x^2+3x-1$. 

Montrer que $f$ est dérivable en $x=2$ et en déduire $f'(2)$. 

Déterminer directement la fonction dérivée $f'$ de $f$, et retrouver
le résultat précédent. 
\enex


\bgex
Soit la fonction $h$ définie sur $\R^+$ par $h(x)=\sqrt{x}$. 

Montrer que la fonction $h$ n'est pas dérivable en $0$. 
Interpréter graphiquement le résultat précédent. 
\enex

\bgex
Montrer que la fonction $\dsp k:x\mapsto \frac{x\sqrt{x}}{1+x}$ est
dérivable en $0$. 
Que vaut $k'(0)$ ?
\enex

\noindent
\bgmp{12cm}
\paragraph{\ul{Approximation affine}}\bgmp[t]{7.5cm}
La tangente est "la droite la plus proche de $\Cf$" au voisinage de
$a$. \enmp\\ 
Soit $\vphi(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)$ telle que, 
d'après ce qui précède, 
$\dsp\lim_{x\to a}\vphi(x)=0$. \\ 
On a alors l'expression de $f(x)$: 
\[f(x)=\underbrace{f(a)\ +\ (x-a)f'(a)}_{\mbox{équation de la tangente}} 
+\ (x-a)\vphi(x)\]
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{arrowsize=7pt,xunit=3cm,yunit=2.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-.1)(1.8,1.8)
  \nwc{\f}[1]{#1 #1 mul #1 mul -1. #1 mul #1 mul add 0.5 add}
  \nwc{\fp}[1]{#1 #1 mul 3 mul -2. #1 mul add}
  \def\xa{.9}
  % tgte{x}{xa}
  \nwc{\tgte}[2]{\fp{#2} #1 #2 sub mul \f{#2} add}
  \def\xah{1.4}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(1.8,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7)
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.5}{\f{x}}
  \psplot[linewidth=1.pt]{0.1}{1.8}{\tgte{x}{\xa}}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](\xa,0)(!\xa\space\f{\xa})(!0\space\f{\xa})
  \rput[c](\xa,-0.1){$a$}\rput[r](!-.05\space\f{\xa}){$f(a)$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](\xah,0)(!\xah\space\f{\xah})(!0\space\f{\xah})
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](!0\space\tgte{\xah}{\xa})(!\xah\space\tgte{\xah}{\xa})
  \rput[c](\xah,-.1){$x$}
  \rput[r](!-.05\space\f{\xah}){$f(x)$}
  \rput[r](!-.05\space\tgte{\xah}{\xa}){$y$}
  \rput(-0.5,.3){$\Cf$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgprop{
  Soit une fonction dérivable en $a$, alors $\Cf$ admet une tangente
  au point d'abscisse $a$ d'équation
  \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]
}


\bgth{Une fonction dérivable en un réel $a$ est continue en $a$.}

\bgproof{
D'après ce qui précède, si $f$ est dérivable en $a$, alors, 
avec $\vphi$ telle que $\dsp\lim_{x\to a}\vphi(x)=0$
$f(x)=f(a)\ +\ (x-a)f'(a)\ +\ (x-a)\vphi(x)$, 
et donc, $\dsp\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. 
}

\vspd\noindent
\ul{Attention!} {\it la réciproque est fausse: une fonction peut-être
continue mais non dérivable en $a$. 

Par exemple, $x\mapsto \sqrt{x}$ et $x\mapsto |x|$ sont continues en
$x=0$ mais ne sont pas dérivables
en $x=0$.
}


%\bgex \it{Dérivée de la fonction tangente.} 
%
%La fonction tangente est définie par 
%$\dsp\tan : x\mapsto \frac{\sin x}{\cos x}$. 
%Calculer sa fonction dérivée.
%\enex

\bgex Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes: 

\vsp
\begin{tabular}{lll}
$\bullet\ f_1:x\mapsto x^{23}-\dfrac{12x^{11}}{5}+3,5x^7-\dfrac{1}{x}$
&
$\bullet\ f_2:x\mapsto \sqrt{x}+\dfrac{1}{x+2}$
&
$\bullet\ f_3:x\mapsto \sqrt{x+3}$
\\[0.4cm]
$\bullet\  f_4:x\mapsto \dfrac{x^3+3x+1}{2x^2+4x+8}$
&
$\bullet\  f_5:x\mapsto \sqrt{x^2+3x-10}$
&
$\bullet\ f_6(x)=\dfrac{x^2+2}{x-5}$ 
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_7(x)=x^2\cos(x)$
&
$\bullet\ f_8(x)=\cos(2x+3)$
&
$\bullet\ f_9(x)=(2x^2+3x-2)^7$
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_{10}(x)=\sqrt{4-x^2}$
&
$\bullet\ f_{11}(x)=-4x+6x\sqrt{x}$
&
$\bullet\ f_{12}(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_{13}(x)=\lp\dfrac{3x-4}{x-1}\rp^3$
&
$\bullet\ f_{14}(x)=\sqrt{3x^2-\dfrac{1}{9x}}$
&
$\bullet\ f_{15}(x)=\sqrt{2+\cos^2(2x+1)}$
\end{tabular}
\enex

\section{Etude de fonctions}

\vspace{-0.6cm}
\bgth{
  Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur
  $I$ et: 
  \vspd
  \bgit
  \item[$\bullet$] Si, pour tout $x\in I$, $f'(x)>0$, $f$ est
    strictement croissante sur $I$; 
  \vspd
  \item[$\bullet$] Si, pour tout $x\in I$, $f'(x)<0$, $f$ est
    strictement décroissante sur $I$; 
  \vspd
  \item[$\bullet$] Si, pour tout $x\in I$, $f'(x)=0$, $f$ est
    constante sur $I$.
  \enit
}


\vspace{-0.3cm}
\bgth{
  Si une fonction $f$ dérivable sur $I$ admet un extremum en $x_0\in
  I$, alors $f'(x_0)=0$. 
}

\vspd\noindent
\ul{\ul{La réciproque est fausse}}. La dérivée d'une fonction peut
s'annuler sans que cela ne corresponde à un extremum pour la
fonction. 


\pagebreak
Par exemple, soit $f:x\mapsto x^3$, vérifie $f'(0)=0$, mais 
$f(0)$ n'est pas un extremum pour la fonction cube (qui est
strictement croissante sur $\R$). 


\vspace{-0.3cm}
\bgex
Déterminer les extrema éventuels de 
$\dsp f:x\mapsto x+\frac{2}{x}$. 

Vérifier que ces points sont bien des extrema, et préciser s'il s'agit
de minima ou de maxima. 
\enex


\bgex
\!\!$f$ est définie sur $\R$ par\!:\! 
$f(x)=x^3-2x^2-4$. 
Montrer que $-6$ est un minorant \mbox{de $f$ sur~$\R_+$.}
%$[0;+\infty[$.
\enex

\vspace{-0.3cm}
\bgex 
$f_m$ est la fonction définie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par: 
$ f_m(x)=\dfrac{x^2+mx}{x^2-1}\ , 
\mbox{ où $m$ est un réel.} 
$

Pour quelles valeurs de $m$, $f_m$ n'admet-elle ni maximum
ni minimum ? 
\enex


\bgex 
$f$ est définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^2$ et $g$ la fonction définie sur $\R\setminus\la3\ra$ par 
$\dsp g(x)=9+\frac{12}{x-3}$. 

\bgen
\item
  \bgit
  \item[a)] Etudier les variations de $g$ et ses limites aux bornes de son
    ensemble de définition. 
  \item[b)] Dans un même repère, tracer les courbes représentatives
    des fonctions $f$ et $g$. 
  \item[c)] Indiquer, par lecture graphique, le nombre de solutions
    dans $\R$ de l'équation $f(x)=g(x)$. 
  \enit

\vsp
\item $h$ est la fonction définie sur $\R\setminus\la3\ra$ par: 
  $\dsp h(x)=(x-3)\lb f(x)-g(x)\rb$.
  \vsp
  \bgit
  \item[a)] Etudier les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
  \item[b)] Etudier les variations de $h$ et dresser son tableau de
    variations. 
  \item[c)] En déduire que l'équation $f(x)=g(x)$ admet trois
    solutions. 
  \item[d)] Donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de chaque solution.
  \enit
\enen
\enex


\vspace{-0.3cm}
\bgex 
On note $(E)$ l'équation $x^3-15x-4=0$ et $(I)$ l'inéquation
$x^3-15x-4>0$. 

\vspace{-0.5cm}
\paragraph{1. Résolution graphique}

\bgit
\item[a)] Montrer que l'équation $(E)$ est équivalente à l'équation 
  $\dsp x^2-15=\frac{4}{x}$
\vspace{-0.2cm}
\item[b)] Tracer dans un même repère les courbes représentatives des
  fonctions $x\mapsto x^2-15$ et $\dsp x\mapsto \frac{4}{x}$. 
\item[c)] Déterminer graphiquement le nombre de solutions de
  l'équation $(E)$. 

  Une des solutions est un nombre entier, quelle est sa valeur ? 

 Encadrer chacune des autres solutions $\alpha$ et $\beta$ 
  (avec $\alpha<\beta$) par deux entiers consécutifs. 
\item[d)] Démontrer que l'inéquation $(I)$ s'écrit sur 
  $]0;+\infty[$, $\dsp x^2-15>\frac{4}{x}$, 
    et sur $]-\infty;0[$, $\dsp x^2-15<\frac{4}{x}$.
\enit

\vspace{-0.4cm}
\paragraph{2. Etude d'une fonction}

$f$  est définie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3-15x-4$. 
$\Cf$ est sa courbe représentative.

\vsp
\bgit
\item[a)] Justifier la continuité de $f$ sur $\R$. 
\item[b)] Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
\item[c)] Déterminer les variations de $f$ et dresser son tableau de
  variations. 
  Tracer l'allure de $\Cf$.
\item[e)] Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois
  solutions dans $\R$. 
\item[f)] Donner un encadrement à $10^{-2}$ près de chacune des
  solutions. 
\item[g)] Etudier le signe de la fonction $f$. En déduire l'ensemble
  des solutions de l'inéquation $(I)$.
\enit

\vspace{-0.4cm}
\paragraph{3. Méthode algébrique}
\bgit
\item[a)] Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel
  $x$, 
  $x^3-15x-4=(x-4)(ax^2+bx+c)$. 
\item[b)] Résoudre alors $(E)$ et $(I)$.
\enit
\enex


\vspace{-0.3cm}
\bgex 
$f$ est la fonction polynôme définie sur $\R$ par: 
$\dsp f(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}x^2+4x$. 

\bgen
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$, 
    puis sa dérivée seconde $f''$.

\vsp
\item
  \bgen[a)]
  \item Déterminer les variations de la fonction $f'$, 
    et dresser le tableau de variation de $f'$. 

  \item Prouver que l'équation $f'(x)=0$ admet une solution unique $c$ et
    que cette solution appartient à l'intervalle $]-\infty;-1]$. 
    Donner un encadrement de $c$ d'amplitude $10^{-2}$. 
  \enen

\vsp
\item 
  \bgen[a)]
  \item Déterminer le signe de la fonction $f'$, puis 
    dresser le tableau de variation de la fonction~$f$. 
  \item Montrer que $\dsp f(c)=\frac{3c(4-c)}{4}$
  \item Déterminer le nombre de racines du polynôme $f$.
  \enen
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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