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Description
Cours de mathématiques: fonctions logarithmes népérien et décimal
Niveau
Terminale S
Table des matières
  • Définition et exercices
  • Propriétés algébriques du logarithme décimal
  • Séismes et échelle de Richter
  • pH d'une solution
Mots clé
Cours de mathématiques, logarithme, logarithme népérien, fonction logarithme, logarithme décimale, TS, terminale S
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours et exercies de mathmatiques: Logarithme dcimal},
    pdftitle={Logarithme dcimal},
    pdfkeywords={Mathmatiques, TS, terminale, S, 
      logarithme, logarithme nprien, ln, 
      logarithme dcimal, log10, logarithme base 10}
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\voffset=-1.cm

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
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\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Thorme \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Thorme}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Proprit \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Proprit}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Corollaire}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Dfinition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Dfinition}}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Dmonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Logarithme dcimal}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{http://xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

%\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.4cm}


%\section{Logarithme dcimal}

\bgdef{
  La fonction logarithme dcimal, note $\log$, est
  dfinie sur $\R_+^*$ par 
  $\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$.
}

\bgprop{
  \bgit
  \item[$\bullet$] $\log(1)=\dots$,\hfill
    $\dsp\log(10)=\dots$\hfill
    $\dsp\log(100)=\dots$\hfill
    $\dsp\log(0,1)=\dots$\hfill
    $\dsp\log(0,01)=\dots$
    \vspd
  \item[$\bullet$] Pour tous rels $a>0$ et $b>0$, 
    $\log(ab)=\dots\, \dots$. 
    \vspd
  \item[$\bullet$] Pour tout rel $a>0$ et $n\in\N$, $\log(a^n)=\dots$. 

    \vspd
  \item[$\bullet$] Pour tout $n\in\N$, $\log(10^n)=\dots$. 

    $n=\log{a} \iff a=\dots$ 

    \vsp
    {\bf Le logarithme dcimale est la fonction rciproque de la
      fonction %$x\mapsto 10^x$: 
      %$\log(10^x)=x$ et, \ $10^{\log(x)}=x$
    }
  \enit
}

\vspd\noindent
{\it\ul{Remarque:}
  Le logarithme nprien est parfois note (dans la littrature
  anglo-saxone notamment) $\log$ au lieu de $\ln$, tandis 
  que le logarithme dcimal est not $\log_{10}$, ou encore $\mbox{Log}$.
}

\bgex
\bgen
\item Etudier les variations de la fonction $\log$ sur $\R_+^*$. 
  Prciser ses limites. 

\item Dterminer les quations des deux tangentes  la courbe $\mathcal{C}$,
  reprsentative de la fonction $\log$, aux points d'abscisses 1 et 10. 

\item Tracer dans un repre ces tangentes et l'allure de
  $\mathcal{C}$.  
\enen
\enex


\bgex
Rsoudre: 
\quad a)\ \ $\log x = -4$
\quad b)\ \ $\log(x+4)+\log x=0$
\quad c)\ \ $\log x>\dfrac12$

\noindent
\quad d)\ \ $2\lp\log x\rp^2-\log x+1=0$
\quad e)\ \ $\lp\log x\rp^2+\log x-12\geqslant 0$
\enex

\bgex
\bgen
\item Sans calculatrice, donner un encadrement par deux entiers
  conscutifs des nombres: 

  $a=\log(1789)$; $b=\log (25 665)$; $c=\log (0.009 33)$. 
\item Soit le nombre $a=2^{13\,345}$. 
Vrifier que $4\,017\leqslant \log(a) < 4\,018$. 

Indiquer alors le nombre de chiffre de la partie entire de l'criture
dcimale de $a$. 
\enen
\enex


\bgex {\it (Echelle de Richter)} 

La magnitude d'un sisme, sur l'chelle de Richter, est value 
partir de l'amplitude $A$ des ondes sismiques enregistres sur un
sismographe par la formule $M=\log(A)-\log(A_0)$, 
o $A_0$ dsigne l'amplitude d'un sisme de rfrence. 

\bgen 
\item On a mesur l'amplitude d'un sisme et on a obtenu 
  $A=3,98\,10^7\,A_0$. 

  Calculer la magnitude de ce sisme sur l'chelle de Richter. 

\item La magnitude d'un sisme est $5$. 
  Dterminer le rapport $\dsp\frac{A}{A_0}$ de son amplitude 
  celle de rfrence. 

\item A quelle variation d'amplitude correspond une variation de
  magnitude de $1$ sur cette chelle. 
\enen
\enex

\bgex {\it (pH d'une solution)} 

\noindent
La molarit en ions $H^+$ d'une solution est le nombre, 
not $[H^+]$, de moles par litre d'ions $H^+$. 
On utilise plus couramment le pH, qui est dfini par 
%$[H^+]$ s'exprime gnralement par un nombre comportant une puissance
%ngative de $10$ ($10^{-5}$ mol.L$^{-1}$ par exemple). 
%On lui prfre donc le pH dfini par 
pH$=-\log([H^+])$. 

\vspd
\bgen
\item Quel est le pH d'un solution contenant $3.10^{-7}$ moles
  d'ions $H^+$ par litre ? 
  \vspd
\item Quelle est la molarit en ions $H^+$ d'une solution neutre 
  (pH$=7$) ?
\enen
\enex






\end{document}

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