Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours et exercies de math�matiques: Logarithme d�cimal},
pdftitle={Logarithme d�cimal},
pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale, S,
logarithme, logarithme n�p�rien, ln,
logarithme d�cimal, log10, logarithme base 10}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{\ul{Th�or�me}}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{\ul{Propri�t�}}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{\ul{Corollaire}}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{\ul{D�finition}}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Logarithme d�cimal}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.4cm}
%\section{Logarithme d�cimal}
\bgdef{
La fonction logarithme d�cimal, not�e $\log$, est
d�finie sur $\R_+^*$ par
$\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$.
}
\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] $\log(1)=\dots$,\hfill
$\dsp\log(10)=\dots$\hfill
$\dsp\log(100)=\dots$\hfill
$\dsp\log(0,1)=\dots$\hfill
$\dsp\log(0,01)=\dots$
\vspd
\item[$\bullet$] Pour tous r�els $a>0$ et $b>0$,
$\log(ab)=\dots\, \dots$.
\vspd
\item[$\bullet$] Pour tout r�el $a>0$ et $n\in\N$, $\log(a^n)=\dots$.
\vspd
\item[$\bullet$] Pour tout $n\in\N$, $\log(10^n)=\dots$.
$n=\log{a} \iff a=\dots$
\vsp
{\bf Le logarithme d�cimale est la fonction r�ciproque de la
fonction %$x\mapsto 10^x$:
%$\log(10^x)=x$ et, \ $10^{\log(x)}=x$
}
\enit
}
\vspd\noindent
{\it\ul{Remarque:}
Le logarithme n�p�rien est parfois not�e (dans la litt�rature
anglo-saxone notamment) $\log$ au lieu de $\ln$, tandis
que le logarithme d�cimal est not� $\log_{10}$, ou encore $\mbox{Log}$.
}
\bgex
\bgen
\item Etudier les variations de la fonction $\log$ sur $\R_+^*$.
Pr�ciser ses limites.
\item D�terminer les �quations des deux tangentes � la courbe $\mathcal{C}$,
repr�sentative de la fonction $\log$, aux points d'abscisses 1 et 10.
\item Tracer dans un rep�re ces tangentes et l'allure de
$\mathcal{C}$.
\enen
\enex
\bgex
R�soudre:
\quad a)\ \ $\log x = -4$
\quad b)\ \ $\log(x+4)+\log x=0$
\quad c)\ \ $\log x>\dfrac12$
\noindent
\quad d)\ \ $2\lp\log x\rp^2-\log x+1=0$
\quad e)\ \ $\lp\log x\rp^2+\log x-12\geqslant 0$
\enex
\bgex
\bgen
\item Sans calculatrice, donner un encadrement par deux entiers
cons�cutifs des nombres:
$a=\log(1789)$; $b=\log (25 665)$; $c=\log (0.009 33)$.
\item Soit le nombre $a=2^{13\,345}$.
V�rifier que $4\,017\leqslant \log(a) < 4\,018$.
Indiquer alors le nombre de chiffre de la partie enti�re de l'�criture
d�cimale de $a$.
\enen
\enex
\bgex {\it (Echelle de Richter)}
La magnitude d'un s�isme, sur l'�chelle de Richter, est �valu�e �
partir de l'amplitude $A$ des ondes sismiques enregistr�es sur un
sismographe par la formule $M=\log(A)-\log(A_0)$,
o� $A_0$ d�signe l'amplitude d'un s�isme de r�f�rence.
\bgen
\item On a mesur� l'amplitude d'un s�isme et on a obtenu
$A=3,98\,10^7\,A_0$.
Calculer la magnitude de ce s�isme sur l'�chelle de Richter.
\item La magnitude d'un s�isme est $5$.
D�terminer le rapport $\dsp\frac{A}{A_0}$ de son amplitude �
celle de r�f�rence.
\item A quelle variation d'amplitude correspond une variation de
magnitude de $1$ sur cette �chelle.
\enen
\enex
\bgex {\it (pH d'une solution)}
\noindent
La molarit� en ions $H^+$ d'une solution est le nombre,
not� $[H^+]$, de moles par litre d'ions $H^+$.
On utilise plus couramment le pH, qui est d�fini par
%$[H^+]$ s'exprime g�n�ralement par un nombre comportant une puissance
%n�gative de $10$ ($10^{-5}$ mol.L$^{-1}$ par exemple).
%On lui pr�f�re donc le pH d�fini par
pH$=-\log([H^+])$.
\vspd
\bgen
\item Quel est le pH d'un solution contenant $3.10^{-7}$ moles
d'ions $H^+$ par litre ?
\vspd
\item Quelle est la molarit� en ions $H^+$ d'une solution neutre
(pH$=7$) ?
\enen
\enex
\end{document}
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